Young 不等式

Young 不等式（杨不等式）是分析中的一个极为有用的不等式。它是对数函数$f(x) = \ln x$的凹性的直接运用。

内容

设有正常数$a, b > 0$及$p,q>1$且$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$，成立如下不等式

$$ab \leqslant \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}.$$

上述等号当且仅当$a^p = b^q$时成立。

指标$p,q$的关系是通过尺度分析的经典方法得到的，如果我们想要建立类似$ab\leqslant C_{1}a^{p}+C_{2}b^{q}$类型的不等式（例如，Hölder 不等式），那么我们可以用$\lambda ^{q}a$和$\lambda ^{p}b$分别替换原来的$a, b$，这个不等式依然要成立，那么我们就得到了$\lambda ^{p+q}ab\leqslant C(a,b)\lambda ^{pq}.$所以分别令$\lambda \to 0,+\infty$，我们就知道$p+q=pq.$

证明

如果令$x = a^p, y = b^q$，即证

$$x^{\frac {1}{p}}y^{\frac {1}{q}}\leqslant {\dfrac {1}{p}}x+{\dfrac {1}{q}}y.$$

对式#A1两侧同时取对数，即证

$${\frac {1}{p}}\ln x+{\frac {1}{q}}\ln y\leqslant \ln \left({\dfrac {1}{p}}x+{\dfrac {1}{q}}y\right).$$

上述不等式其实就是$f(x) = \ln x$的凹性的直接推论。

带微小量的形式

在数值估计中常用到的带$\varepsilon$的 Young 不等式，它是，

$$ab\leqslant \varepsilon a^{p}+C(\varepsilon )b^{q},\quad a,b,\varepsilon >0,C(\varepsilon )=(\varepsilon p)^{-{\frac {q}{p}}}q^{-1}.$$

仅需注意到

$$ab = ((\varepsilon p)^\frac{1}{p} a ) \left( \frac{b}{(\varepsilon p)^\frac{1}{p}} \right)$$

即可。

Lp 空间

假设$f \in L^p, g \in L^q$，那么卷积$f * g \in L^r, \dfrac{1}{r} + 1 = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}$，且

$$\| f * g \|_r \leqslant \| f \|_p \| g \|_q.$$

是卷积中带有权函数的 Young 定理的特例。

积分形式

设函数$y=f(x)$在$[a, +\infty)$上连续且严格单调递增，$f(0) = 0, a, b > 0$，则有

$$ab \leqslant \int_0^a f(x) \mathrm{d}x + \int_0^b f^{-1}(y) \mathrm{d}y \leqslant b f^{-1}(b) + af(a) - f(a) f^{-1}(b).$$

等号成立当且仅当$b = f(a).$

后一个不等式对应于反函数成立的如下不定积分等式

$$\int f(x)\mathrm {d} x+\int f^{-1}(y)\mathrm {d} y=xf(x).$$

在理解上式时，由于$x, y$相互依赖，积分上下限不同。

参见

• 凸函数
• Jensen 不等式
• Minkowski 不等式
• Hölder 不等式

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.
2. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.