Weingarten 变换

在微分几何中，三维空间中曲面上切平面的 Weingarten 变换是正则曲面上一点$P$的切平面$T_P S$上的线性变换，它的特征值是主曲率。

定义

假设有（正则）曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$及其上一点$P(u_0, v_0) = \boldsymbol{r}(u_0, v_0)$，过这一点有曲面的一个单位法向量 $$\boldsymbol{n} = \dfrac{\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v}{|\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v|}$$ 在所考虑的点$P$的切平面$T_P S$上有一个映射定义为 $$\begin{align} \mathcal{W}: T_PS & \to T_PS, \\ \lambda \boldsymbol{r}_u + \mu \boldsymbol{r}_v & \mapsto -(\lambda \boldsymbol{n}_u + \mu \boldsymbol{n}_v). \end{align}$$ 微分形式写作 $$\mathcal{W}(\mathrm{d}\boldsymbol{r}) = - \mathrm{d} \boldsymbol{n}.$$ 这个变换$\mathcal{W}$称为 Weingarten 变换。它的实质是 Gauss 映射诱导的切映射。

矩阵表示

假设$\mathcal{W}$在$\{ \boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v \}$下的矩阵为 $$W = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ 那么 $$\begin{align} W & = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \\ & = \dfrac{1}{EG - F^2} \begin{pmatrix} LG-MF & ME-LF \\ MG-NF & NE-MF \end{pmatrix}. \end{align}$$ 它的特征值记作$k_1, k_2$，定义$H = \dfrac{k_1 + k_2}{2}$为平均曲率，$K = k_1 k_2$为 Gauss 曲率，有 $$\begin{align} H & = \dfrac{1}{2} \dfrac{LG-2MF+NE}{EG-F^2}, \\ K & = \dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}. \end{align}$$ 同时可知法向量的导数 $$\begin{pmatrix} \boldsymbol{n}_u \\ \boldsymbol{n}_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_u \\ \boldsymbol{r}_v \end{pmatrix}$$ 这也就是 $$\begin{align} \boldsymbol{n}_u & = \dfrac{LG - MF}{EG - F^2} \boldsymbol{r}_u + \dfrac{ME - LF}{EG - F^2} \boldsymbol{r}_v, \\ \boldsymbol{n}_v & = \dfrac{MG - NF}{EG - F^2} \boldsymbol{r}_u + \dfrac{NE - MF}{EG - F^2} \boldsymbol{r}_v, \\ \end{align}$$ 这用来导出曲面的第三基本形式$(\mathrm{d} \boldsymbol{n}, \mathrm{d} \boldsymbol{n}).$

性质

该变换有如下性质：

1. 它与曲面的同向参数选取（即不同参数变换矩阵的行列式为正）无关，反向参数（即不同参数变换矩阵的行列式为负）要改变符号。由一阶微分形式的不变性立得。
2. 它是自共轭变换，即满足$(\mathcal{W}(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{w}) = (\boldsymbol{v}, \mathcal{W}(\boldsymbol{w})).$

主方向

矩阵$W$的特征向量称为曲面在这一点$P$的主方向，假设$k_1 \ne k_2$，那么可以选择相互正交的单位向量$\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$作为主方向，这时这两个向量构成$T_P S$的单位正交基底，对于任意的单位向量$\boldsymbol{v} \in T_PS$都存在$\theta \in [0, 2\pi)$使得 $$\boldsymbol{v} = \cos \theta \boldsymbol{e}_1 + \sin \theta \boldsymbol{e}_2.$$ 因此沿着$\boldsymbol{v}$方向的法曲率 $$k_\boldsymbol{n}(\boldsymbol{v}) = (\mathcal{W}(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{v}) = k_1 \cos^2 \theta + k_2 \sin^2 \theta.$$ 这便是 Euler 发现的法曲率和主曲率之间关系的公式。

假设曲面上一点有一个切方向$\boldsymbol{t} = x \boldsymbol{r}_u + y \boldsymbol{r}_v$，那么可以证明它是主方向当且仅当满足 $$\begin{vmatrix} y^2 & -xy & x^2 \\ E & F & G \\ L & M & N \\ \end{vmatrix} = 0.$$ 如果曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$上的一条曲线$\boldsymbol{r}(u(t), v(t))$上任意一点$P$的切方向是曲面在该点的主方向，我们就称这条曲线是曲面的曲率线。

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.