Weingarten 變換

在微分幾何中，三維空間中曲面上切平面的 Weingarten 變換是正則曲面上一點$P$的切平面$T_P S$上的線性變換，它的特徵值是主曲率。

定義

假設有（正則）曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$及其上一點$P(u_0, v_0) = \boldsymbol{r}(u_0, v_0)$，過這一點有曲面的一個單位法向量 $$\boldsymbol{n} = \dfrac{\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v}{|\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v|}$$ 在所考慮的點$P$的切平面$T_P S$上有一個映射定義為 $$\begin{align} \mathcal{W}: T_PS & \to T_PS, \\ \lambda \boldsymbol{r}_u + \mu \boldsymbol{r}_v & \mapsto -(\lambda \boldsymbol{n}_u + \mu \boldsymbol{n}_v). \end{align}$$ 微分形式寫作 $$\mathcal{W}(\mathrm{d}\boldsymbol{r}) = - \mathrm{d} \boldsymbol{n}.$$ 這個變換$\mathcal{W}$稱為 Weingarten 變換。它的實質是 Gauss 映射誘導的切映射。

矩陣表示

假設$\mathcal{W}$在$\{ \boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v \}$下的矩陣為 $$W = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ 那麼 $$\begin{align} W & = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \\ & = \dfrac{1}{EG - F^2} \begin{pmatrix} LG-MF & ME-LF \\ MG-NF & NE-MF \end{pmatrix}. \end{align}$$ 它的特徵值記作$k_1, k_2$，定義$H = \dfrac{k_1 + k_2}{2}$為平均曲率，$K = k_1 k_2$為 Gauss 曲率，有 $$\begin{align} H & = \dfrac{1}{2} \dfrac{LG-2MF+NE}{EG-F^2}, \\ K & = \dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}. \end{align}$$ 同時可知法向量的導數 $$\begin{pmatrix} \boldsymbol{n}_u \\ \boldsymbol{n}_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_u \\ \boldsymbol{r}_v \end{pmatrix}$$ 這也就是 $$\begin{align} \boldsymbol{n}_u & = \dfrac{LG - MF}{EG - F^2} \boldsymbol{r}_u + \dfrac{ME - LF}{EG - F^2} \boldsymbol{r}_v, \\ \boldsymbol{n}_v & = \dfrac{MG - NF}{EG - F^2} \boldsymbol{r}_u + \dfrac{NE - MF}{EG - F^2} \boldsymbol{r}_v, \\ \end{align}$$ 這用來導出曲面的第三基本形式$(\mathrm{d} \boldsymbol{n}, \mathrm{d} \boldsymbol{n}).$

性質

該變換有如下性質：

1. 它與曲面的同向參數選取（即不同參數變換矩陣的行列式為正）無關，反向參數（即不同參數變換矩陣的行列式為負）要改變符號。由一階微分形式的不變性立得。
2. 它是自共軛變換，即滿足$(\mathcal{W}(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{w}) = (\boldsymbol{v}, \mathcal{W}(\boldsymbol{w})).$

主方向

矩陣$W$的特徵向量稱為曲面在這一點$P$的主方向，假設$k_1 \ne k_2$，那麼可以選擇相互正交的單位向量$\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$作為主方向，這時這兩個向量構成$T_P S$的單位正交基底，對於任意的單位向量$\boldsymbol{v} \in T_PS$都存在$\theta \in [0, 2\pi)$使得 $$\boldsymbol{v} = \cos \theta \boldsymbol{e}_1 + \sin \theta \boldsymbol{e}_2.$$ 因此沿着$\boldsymbol{v}$方向的法曲率 $$k_\boldsymbol{n}(\boldsymbol{v}) = (\mathcal{W}(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{v}) = k_1 \cos^2 \theta + k_2 \sin^2 \theta.$$ 這便是 Euler 發現的法曲率和主曲率之間關係的公式。

假設曲面上一點有一個切方向$\boldsymbol{t} = x \boldsymbol{r}_u + y \boldsymbol{r}_v$，那麼可以證明它是主方向當且僅當滿足 $$\begin{vmatrix} y^2 & -xy & x^2 \\ E & F & G \\ L & M & N \\ \end{vmatrix} = 0.$$ 如果曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$上的一條曲線$\boldsymbol{r}(u(t), v(t))$上任意一點$P$的切方向是曲面在該點的主方向，我們就稱這條曲線是曲面的曲率線。

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.