在微分几何中,三维空间中曲面上切平面的 Weingarten 变换是正则曲面上一点
的切平面
上的线性变换,它的特征值是主曲率。
定义[]
假设有(正则)曲面
及其上一点
,过这一点有曲面的一个单位法向量

在所考虑的点

的切平面

上有一个映射定义为

微分形式写作

这个变换

称为 Weingarten 变换。它的实质是
Gauss 映射诱导的切映射。
矩阵表示[]
假设
在
下的矩阵为

那么

它的特征值记作

,定义

为
平均曲率,

为
Gauss 曲率,有

同时可知法向量的导数

这也就是

这用来导出
曲面的第三基本形式
性质[]
该变换有如下性质:
- 它与曲面的同向参数选取(即不同参数变换矩阵的行列式为正)无关,反向参数(即不同参数变换矩阵的行列式为负)要改变符号。由一阶微分形式的不变性立得。
- 它是自共轭变换,即满足

主方向[]
矩阵
的特征向量称为曲面在这一点
的主方向,假设
,那么可以选择相互正交的单位向量
作为主方向,这时这两个向量构成
的单位正交基底,对于任意的单位向量
都存在
使得

因此沿着

方向的
法曲率

这便是 Euler 发现的法曲率和主曲率之间关系的公式。
假设曲面上一点有一个切方向
,那么可以证明它是主方向当且仅当满足

如果曲面

上的一条曲线

上任意一点

的切方向是曲面在该点的主方向,我们就称这条曲线是曲面的
曲率线。
参考资料