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在微分几何中,三维空间中曲面上切平面的 Weingarten 变换是正则曲面上一点的切平面上的线性变换,它的特征值是主曲率

定义[]

假设有(正则)曲面及其上一点,过这一点有曲面的一个单位法向量

在所考虑的点的切平面上有一个映射定义为
微分形式写作
这个变换称为 Weingarten 变换。它的实质是 Gauss 映射诱导的切映射。

矩阵表示[]

假设下的矩阵为

那么
它的特征值记作,定义平均曲率Gauss 曲率,有
同时可知法向量的导数
这也就是
这用来导出曲面的第三基本形式

性质[]

该变换有如下性质:

  1. 它与曲面的同向参数选取(即不同参数变换矩阵的行列式为正)无关,反向参数(即不同参数变换矩阵的行列式为负)要改变符号。由一阶微分形式的不变性立得。
  2. 它是自共轭变换,即满足

主方向[]

矩阵的特征向量称为曲面在这一点的主方向,假设,那么可以选择相互正交的单位向量作为主方向,这时这两个向量构成的单位正交基底,对于任意的单位向量都存在使得

因此沿着方向的法曲率
这便是 Euler 发现的法曲率和主曲率之间关系的公式。

假设曲面上一点有一个切方向,那么可以证明它是主方向当且仅当满足

如果曲面上的一条曲线上任意一点的切方向是曲面在该点的主方向,我们就称这条曲线是曲面的曲率线

参考资料

  1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.
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