Weierstrass 無窮乘積公式

Weierstrass 無窮乘積公式是 Weierstrass 引入的 Γ 函數之定義。

公式[]

令 $P_n(z) = \int_C \left( 1 - \dfrac{t}{n} \right)^n t^{z-1} \mathrm{d}t.$ 由控制收斂定理 $\lim_{n \to \infty} P_n(z) = \Gamma(z).$ 進一步可以得到 Euler 公式 $\Gamma (z) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(n-1)! n^z}{z (z-1) \cdots (z+n-1)}.$ 注意到 $n^z = \text{e}^{z \ln n} = \exp \left[ z \left( \ln n - \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \right) \right] \prod_{k=1}^n \text{e}^{\frac{z}{k}}.$ 於是有 $\dfrac{1}{\Gamma(z)} = z \text{e}^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left( 1 + \dfrac{z}{n} \right)\text{e}^{-\frac{z}{n}}.$ 這個結果表明 $\Gamma(z)$ 的極點都是一階極點且沒有零點。

參考資料

王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函數概論》, 北京大學出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.

特殊函數論（學科代碼：1104170，GB/T 13745—2009）
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