Weierstrass 定理

复变函数论中的 Weierstrass 定理是将整函数写为它的因子的乘积的定理。

内容

设有非零整函数$f(z)$，它有无穷多个零点$a_n, n = 1,2,\cdots$，显然有$\lim _{n \to \infty} a_n = \infty$，假设这些零点都是不为零的一阶零点，且存在一列周线$\{ C_m \}_{m=1}^\infty$，存在正常数$M$满足 $$\left| \dfrac{f'(z)}{f(z)} \right| < M, \forall z \in C_m.$$ 那么$f(z)$可以展成无穷乘积 $$f(z) = f(0) \text{e}^{\frac{f'(0)}{f(0)}z} \prod_{n=1}^\infty \left[ \left( 1 - \dfrac{z}{a_n} \right) \text{e}^{\frac{z}{a_n}} \right].$$

特例

例如正弦函数$\sin z$可以展开为 $$\sin z = z \prod_{n=1}^\infty \left( 1 - \dfrac{z^2}{n^2 \pi^2} \right).$$ 再如 Γ 函数的倒数可以展开为 $$\dfrac{1}{\Gamma(z)} = z \text{e}^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left( 1 + \dfrac{z}{n} \right)\text{e}^{-\frac{z}{n}}.$$

推广

上述定理可以推广到一般的情形，按照一般形式的 Mittag-Leffler 定理，设$f(z)$是有限复平面上没有本性奇点的函数，假设他的零点与极点是$a_i,i=1,2,\cdots$按照$0 < |a_1| \leqslant |a_2| \leqslant \cdots$排列，那么存在整函数$G(z)$满足$G(0) = 0$以及一列多项式$g_n(z)$使得 $$f(z) = f(0) \text{e}^{G(z)} \prod_{n=1}^\infty \left[ \left( 1 - \dfrac{z}{a_n} \right) \text{e}^{g_n(z)} \right]^{m_n}.$$ $m_n$是$a_n$的阶数，零点为正极点为负。

参考资料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.