Weibull 分布

在概率论和数理统计中，Weibull 分布（威布尔分布）是一种连续型随机变量服从的概率分布，它的特例是指数分布和 Rayleigh 分布，在可靠性理论中有重要作用。

模型

设有连续型随机变量$X$，如果它的概率密度函数是 $$f(x) = \dfrac{k}{\lambda} \left( \dfrac{x}{\lambda} \right)^{k-1} \text{e}^{-\frac{x^k}{\lambda^k}} \qquad x \geqslant 0.$$ 其中常数$\lambda, k > 0$分别称为比例参数（或刻度参数）和形状参数，我们就称随机变量$X$服从 Weibull 分布，记作$X \sim W(\lambda, k)$。当$k = 1$时就是指数分布，$k=2$时就是 Rayleigh 分布。

Weibull 分布的分布函数是 $$F(x) = \begin{cases} 1 - \text{e}^{-\frac{x^k}{\lambda^k}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases}$$ 函数$f$满足规范性 $$\lim_{x \to \infty} F(x) = 1.$$

数字特征

Weibull 分布的数学期望和方差分别是 $$E(X) = \lambda \Gamma\!\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right), D(X) = \lambda^2 \left[ \Gamma\!\left( 1 + \dfrac{2}{k} \right) - \Gamma^2\!\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right) \right].$$ 它的特征函数是$\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\text{i}\lambda t)^n}{n!} \Gamma\!\left( 1 + \dfrac{n}{k} \right).$

性质

假设$\{ X_k \}_{k=1}^n$是服从参数相同的独立的 Weibull 分布$W(\lambda, k)$随机变量，那么$Y = \max_{1 \leqslant k \leqslant n} X_k$服从Weibull 分布$W(\lambda/\sqrt[k]{n}, k).$

反之，若独立同分布的随机变量$\{ X_k \}_{k=1}^n$的最小值服从Weibull 分布$W(\lambda, k)$，那么每个随机变量都服从Weibull 分布$W(\lambda\sqrt[k]{n}, k).$

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.