Wallis 公式

Wallis 公式是一个有关双阶乘的公式，它的初等证明可以由定积分的计算得到。

内容及证明

证明 Wallis 公式：

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2n+1}\left(\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2 = \dfrac{\pi}{2}$$

答案：（单击右侧展开以显示>>>）

首先设$m \in \N^{+}$，则$\forall x \in (0, \dfrac{\pi}{2}), \sin^{2m+1} x < \sin^{2m} x < \sin^{2m-1} x$，所以有

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1} x \mathrm{d}x < \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m} x \mathrm{d}x < \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m-1} x \mathrm{d}x$$

而我们知道

$$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \mathrm{d}x = \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!}, \quad n \text{ is odd}; \\ \dfrac{(n-1)!!}{n!!} \dfrac{\pi}{2}, \quad n \text{ is even}. \end{cases}$$

所以

$$\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \dfrac{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}{\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}} = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{(2n-1)!!(2n+1)!!}{[(2n)!!]^2}$$

进而

$$\dfrac{\pi}{2} = \lim_{n \to \infty} \left[ \dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \dfrac{1}{2n+1}\left(\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2 \right]$$

另一方面，由于

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n+1}{2n} = 1$$

而

$$1 = \dfrac{I_{2n+1}}{I_{2n+1}} < \dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \dfrac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}$$

由两面夹法则可知

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1$$

所以

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2n+1}\left(\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2 = \dfrac{\pi}{2}$$

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（下）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6807-2.