Vitali 覆盖定理 （Vitali's Covering Theorem）是一个
R
n
{\displaystyle \R^n}
Vitali 覆盖 [ ] 设
E
⊆
R
n
{\displaystyle E \subseteq \R^n}
Γ
{\displaystyle \Gamma}
x
∈
E
{\displaystyle x \in E}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon > 0}
B
∈
Γ
{\displaystyle B \in \Gamma}
x
∈
B
,
diam
B
<
ε
.
{\displaystyle x \in B, \text{diam } B < \varepsilon.}
Γ
{\displaystyle \Gamma}
E
{\displaystyle E}
定理内容 [ ] 假设
Γ
{\displaystyle \Gamma}
sup
B
∈
Γ
diam
B
<
+
∞
.
{\displaystyle \sup_{B \in \Gamma} \text{diam } B < +\infty.}
inf
B
∈
Γ
diam
B
>
0.
{\displaystyle \inf_{B \in \Gamma} \text{diam } B > 0.}
那么存在
Γ
{\displaystyle \Gamma}
Γ
′
{\displaystyle \Gamma'}
Γ
′
{\displaystyle \Gamma'}
⋃
B
∈
Γ
B
⊆
⋃
B
∈
Γ
′
(
1
+
2
C
)
B
.
{\displaystyle \bigcup_{B \in \Gamma} B \subseteq \bigcup_{B \in \Gamma'} (1+2C)B.}
其中
(
1
+
2
C
)
B
=
B
(
x
,
(
1
+
2
C
)
r
)
,
C
>
3
{\displaystyle (1+2C)B = B(x, (1+2C)r), C > 3}
，即将原来的球
B
{\displaystyle B}
半径放大
1
+
2
C
{\displaystyle 1+2C}
倍球心不变的新球。进一步，对任意的有限子集族
{
B
i
}
i
=
1
k
⊂
Γ
{\displaystyle \{ B_i \}_{i=1}^k \subset \Gamma}
，我们有
A
−
⋃
i
=
1
k
B
i
⊆
⋃
B
∈
Γ
′
−
{
B
i
}
i
=
1
k
(
1
+
2
C
)
B
.
{\displaystyle A - \bigcup_{i=1}^k B_i \subseteq \bigcup_{B \in \Gamma' - \{ B_i \}_{i=1}^k} (1+2C)B.}
这个定理可以推广到
可分 的
度量空间 或 σ 紧的度量空间（即全空间是可列个紧集做无交并得到的）中去。
证明 [ ] 推论 [ ] 这个定义的重要意义在于：我们可以用一个一致有界的闭球去覆盖开集，使得这样的覆盖得到的集合和开集的测度几乎一样，这就是说：假设
U
⊂
R
n
{\displaystyle U \subset \R^n}
δ
>
0
{\displaystyle \delta > 0}
U
{\displaystyle U}
Γ
′
{\displaystyle \Gamma'}
sup
B
∈
Γ
′
diam
B
<
δ
{\displaystyle \sup_{B \in \Gamma'} \text{diam } B < \delta}
m
(
U
−
⋃
B
∈
Γ
′
B
)
=
0.
{\displaystyle m\!\left( U - \bigcup_{B \in \Gamma'} B \right) = 0.}
如果
U
⊆
R
n
{\displaystyle U\subseteq \mathbb{R}^{n}}
m
(
U
)
<
+
∞
{\displaystyle m(U) < +\infty}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon > 0}
B
j
⊂
U
,
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle B_j \subset U, j = 1,2,\cdots,n}
m
(
E
−
⋃
j
=
1
n
I
j
)
<
ε
.
{\displaystyle m\!\left( E - \bigcup_{j=1}^n I_j \right) < \varepsilon.}
当然这个定理也有一定的局限性，这些覆盖的新球必须半径扩大三倍以上才能覆盖原来的开集，在推论的推广中我们如果想要减弱 Lebesgue 测度到一般的
Radon 测度
μ
{\displaystyle \mu}
时将会发现需要一个这样的等式
μ
(
(
1
+
2
C
)
B
)
=
(
1
+
2
C
)
μ
(
B
)
.
{\displaystyle \mu((1+2C)B) = (1+2C)\mu(B).}
这对一般的 Radon 测度而言未必成立，因此我们就需要更精细的覆盖定理，使得覆盖开集的可列球族半径不能扩大，这就引出了
Besicovitch 覆盖定理 。
参考资料 Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.) , Studies in Advanced Mathematics Vol.5 , CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8 
