Vitali-Hahn-Saks 定理

Vitali-Hahn-Saks 定理是测度论上的一个定理。

内容

假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$及其上的一列有限符号测度$\mu_n$，如果存在有限正测度$\lambda$使得$\mu_n$关于$\lambda$绝对连续，且对任意的$A\subset {\mathcal {F}}$使得$\mu (A)=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A)$极限存在，那么

1. $\mu$是一个有限符号测度。
2. $\sup _{n\geqslant 1}\mu _{n}(A)<+\infty$对任意$A\subset {\mathcal {F}}$都成立。
3. 对任意的$\varepsilon > 0$存在$\delta > 0$使得当可测集$A$满足$\lambda (A)<\delta$的时候有$\sup _{n\geqslant 1}\mu _{n}(A)<\varepsilon .$

如果每个测度非零，那么这里的$\lambda$可以取$\sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{2^{n}}}{\dfrac {|\mu _{n}|}{\|\mu _{n}\|}}$，其中$\|\mu _{n}\|$是$\mu_n$的全变差而$|\mu _{n}|$是变差测度。

参考资料

1. 严加安, 《测度论讲义》, 中国科学院研究生教学丛书, 科学出版社, 北京, 2004-02, ISBN 978-7-0301-3409-7.
2. 夏道行, 《泛函分析第二教程》, 高等教育出版社, 北京, 2009-01, ISBN 978-7-0402-4750-3.