Urysohn 引理

在点集拓扑理论中，Urysohn 引理（乌雷孙引理）是一个十分重要的引理，它可以证明单位分解定理，是在很多问题中使用的强大工具。

内容

正则空间版本

假设$X$是$T_4$的拓扑空间（$T_4$空间的定义详见拓扑可分公理），则对于$X$中任意两个不相交的闭集$A, B$，存在$X$上的连续函数$f$使得它在$A, B$上分别取值为$0$和$1.$

这个命题同时也是拓扑空间是$T_4$的的等价刻画。

局部紧的 Hausdorff 空间版本

假设$X$是局部紧的 Hausdorff 空间，$U \subset X$是开集，$K \subset U$是紧集，那么存在一个值域为$[0,1]$的连续函数使得$f(K) = 1$且在$U$的一个紧子集外取值为零。

参考资料

1. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.