Tietze 扩张定理

Tietze 扩张定理是点集拓扑学中的一个定理，可由 Urysohn 引理证得，是分析学中连续延拓定理的推广。

内容

正规空间版本

假设$X$是$T_4$的拓扑空间（$T_4$空间的定义详见拓扑可分公理），则对于定义在$X$中的闭集$A$上的连续函数$f$，存在$X$上的连续函数$\overline{f}$使得$\overline{f}|_A = f.$

这个命题同时也是拓扑空间是$T_4$的的等价刻画。

局部紧的 Hausdorff 空间版本

假设$X$是局部紧的 Hausdorff 空间，$K \subset X$是紧集，$f: K \to \R$连续，那么存在一个连续函数$F: X \to \R$使得$F|_K = f$，进一步，$F$可以要求有紧支集。

参考资料

1. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.