Taylor 公式

Taylor 公式是数学中借助高阶导数用一个多项式函数去逼近估计任意解析函数的公式，它可以认为是 Lagrange 中值定理在高阶导数时的推广，由于它可以把不容易计算的函数转化为简单的加减乘运算，因此在计算机时代应用广泛，被称为“一元微分学的顶峰”。

注意：

1. 多元情形详见多元函数的 Taylor 公式
2. 一些常见函数的 Taylor 级数展开详见泰勒级数
3. 复变解析函数的泰勒展开详见解析函数的泰勒展式
4. 有孤立奇点的解析函数的展开详见解析函数的洛朗展式
5. 有可列个奇点的亚纯函数的展开详见 Mittag-Leffler 定理

内容

Lagrange 余项的 Taylor 公式

设定义在$(a,b)$上的$n+1$阶可导函数$f(x)$，以及其中一点$x_0\in (a,b)$，那么对于任意的$x\in(a,b)$，存在$\xi \in (x, x_0) \cup (x_0, x)$，有下式成立

$${\begin{aligned}f(x)&=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\dfrac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots \\&\quad +{\dfrac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}+{\dfrac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\dfrac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+{\dfrac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}.\end{aligned}}$$

这里的$\xi$取决于$n$和$x$。

如果令$\theta = \dfrac{\xi - a}{b - a}$，那么$\theta \in (0, 1)$且上式可改写为

$$f(x) = \sum _{k=0}^n \dfrac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x - x_0)^k + \dfrac{f^{(n+1)} \big( x_0 + \theta ( x - x_0) \big)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}.$$

当$x_0 = 0$时也称上述公式为带有 Lagrange 余项的$n$阶 Maclaurin 展开式。

Peano 余项的 Taylor 公式

在有的情况下，我们仅需对函数在某点做整体的把握，并不需要准确确定余项的表达式，这时可将函数可导性条件减弱，得到含有 Peano 余项的 Taylor 公式。

设定义在$(a,b)$上的函数$f(x)$在点$x_0\in (a,b)$$n$阶可导，那么对于任意的$x\in(a,b)$，存在$\xi \in (x, x_0) \cup (x_0, x)$，有下式成立

$$\begin{align} f(x) & = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!} (x - x_0)^2 + \cdots \\ & \quad + \dfrac{f''(x_0)}{n!} (x - x_0)^n + o \big( (x - x_0)^{n} \big) \\ & = \sum _{k=0}^n \dfrac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x - x_0)^k + o \big( (x - x_0)^{n} \big). \end{align}$$

当$x_0 = 0$时也称上述公式为带有 Peano 余项的$n$阶 Maclaurin 展开式。

Cauchy 余项的 Taylor 公式

设定义在$(a,b)$上的$n+1$阶可导函数$f(x)$，以及其中一点$x_0\in (a,b)$，那么对于任意的$x \in (a, b), x \ne x_0$，存在$\eta \in (x, x_0) \cup (x_0, x)$，有下式成立

$${\begin{aligned}f(x)&=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\dfrac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots \\&\quad +{\dfrac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}+{\dfrac {f^{(n+1)}(\eta )}{n!}}(x-\eta )^{n}(x-x_{0})\\\end{aligned}}$$

可以通过 Lagrange 中值定理证明。

积分型余项的 Taylor 公式

设定义在$(a,b)$上的$n+1$阶连续可导函数$f(x)$，以及其中一点$x_0\in (a,b)$，那么对于任意的$x\in(a,b)$，存在$\xi \in (x, x_0) \cup (x_0, x)$，有下式成立

$$\begin{align} f(x) & = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!} (x - x_0)^2 + \cdots \\ & \quad + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n + \dfrac{1}{n!} \int_{x_0}^x (x - t)^{n} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t \\ \end{align}$$

这里要求的$f(x)$性质更强：$n+1$阶导数不仅存在且要在$(a,b)$上连续，其证明是反复使用分部积分，这里从略。

证明

Lagrange 余项的 Taylor 公式

设$F(x) = f(x) - \sum _{k=0}^n \dfrac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x - x_0)^k, ~G(x) = \dfrac{(x - x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$。

则$F(x)$和$G(x)$在$(a,b)$上$n+1$阶可导，且有$F^{(k)} (x_0) = G^{(k)} (x_0) = 0, k = 0,1,2,\cdots,n$。

设$I = (x, x_0) \cup (x_0, x)$，使用$n+1$次 Cauchy 中值定理，有

$$\begin{align} \dfrac{F(x)}{G(x)} & = \dfrac{F(x) - F(x_0)}{G(x) - G(x_0)} \\ & \overset{\underset{x_1 \in I}{}}{=\!=\!=} \dfrac{F'(x_1)}{G'(x_1)} = \dfrac{F'(x_1) - F'(x_0)}{G'(x_1) - G'(x_0)} \\ & \overset{\underset{x_2 \in I}{}}{=\!=\!=} \dfrac{F''(x_2)}{G''(x_2)} = \dfrac{F''(x_2) - F''(x_0)}{G''(x_2) - G''(x_0)} \\ & = \cdots \\ & \overset{\underset{x_n \in I}{}}{=\!=\!=} \dfrac{F^{(n)} (x_n)}{G^{(n)} (x_n)} = \dfrac{F^{(n)} (x_n) - F^{(n)} (x_0)}{G^{(n)} (x_n) - G^{(n)} (x_0)} \\ & \overset{\underset{\xi \in I}{}}{=\!=\!=} \dfrac{F^{(n+1)} (\xi)}{G^{(n+1)} (\xi)} = \dfrac{f^{(n+1)} (\xi)}{1} = f^{(n+1)} (\xi). \end{align}$$

进而，有$F(x) = f^{(n+1)} (\xi) G(x)$，于是就证明了结论。

Peano 余项的 Taylor 公式

设$F(x) = f(x) - \sum _{k=0}^n \dfrac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x - x_0)^k, ~G(x) = (x - x_0)^n$。

则$F(x)$和$G(x)$在$U(x_0)$上$n-1$阶可导，且有$F^{(k)} (x_0) = G^{(k)} (x_0) = 0, k = 0,1,2,\cdots,n-1$。

使用$n-1$次 L' Hospital 法则：

$$\begin{align} \lim _{x \to x_0} \dfrac{F(x)}{G(x)} & = \lim _{x \to x_0} \dfrac{F'(x)}{G'(x)} \\ & = \lim _{x \to x_0} \dfrac{F''(x)}{G''(x)} \\ & = \cdots \\ & = \lim _{x \to x_0} \dfrac{F^{(n-1)} (x)}{G^{(n-1)} (x)} \\ & = \lim _{x \to x_0} \dfrac{f^{(n-1)} (x) - f^{(n-1)} (x_0) - f^{(n)} (x_0) (x - x_0)}{n! (x - x_0)} \\ & = \dfrac{1}{n!} \lim _{x \to x_0} \left[ \dfrac{f^{(n-1)} (x) - f^{(n-1)} (x_0)}{(x - x_0)} - f^{(n)} (x_0) \right] \\ & = 0. \end{align}$$

最后一步使用了导数的定义（由于条件限制未说明$f(x)$在$U(x_0)$$n$阶可导，不能再使用 L' Hospital 法则）。

这样我们就证明了结论。

常见函数的 Maclaurin 展开式

指数函数：$\begin{align} \text{e}^x & = 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{3!} x^3 + \cdots + \dfrac{1}{n!} x^n + \dfrac{\text{e}^{\theta x}}{(n+1)!} x^{n+1} \\ & = 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{3!} x^3 + \cdots + \dfrac{1}{n!} x^n + o(x^{n}). \end{align}$

正弦函数：$\begin{align} \sin x & = x - \dfrac{1}{3!} x^3 + \dfrac{1}{5!} x^5 - \cdots + (-1)^{n-1} \dfrac{1}{(2n-1)!} x^{2n-1} + (-1)^n \dfrac{\cos \theta x}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\ & = x - \dfrac{1}{3!} x^3 + \dfrac{1}{5!} x^5 - \cdots + (-1)^{n-1} \dfrac{1}{(2n-1)!} x^{2n-1} + o(x^{2n-1}). \end{align}$

余弦函数：$\begin{align} \cos x & = 1 - \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{4!} x^4 - \cdots + (-1)^{n} \dfrac{1}{(2n)!} x^{2n} + (-1)^{n+1} \dfrac{\cos \theta x}{(2n+2)!} x^{2n+2} \\ & = 1 - \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{4!} x^4 - \cdots + (-1)^{n} \dfrac{1}{(2n)!} x^{2n} + o(x^{2n}). \end{align}$

对数函数（$x>-1$）：
$\begin{align} \ln (1+x) & = x - \dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{3} x^3 - \cdots + \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n} + \dfrac{(-1)^{n} x^{n+1}}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}} \\ & = x - \dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{3} x^3 - \cdots + \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n} + o(x^{n}). \end{align}$

幂函数（$\alpha$不是正整数，且$x>-1$）：
$\begin{align} (1+x)^\alpha & = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha (\alpha - 1)}{2!} x^2 + \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \cdots \\ & + \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots (\alpha-n+1)}{n!} x^{n} + \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots (\alpha-n)}{(n+1)!} (1 + \theta x)^{\alpha-n-1} x^{n+1}. \end{align}$

与其它公式的联系

微分公式

对于区间上的可导函数成立的微分公式

$$f(x) - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0) + o(x)$$

实质上是 Peano 余项的 Taylor 公式展到一阶的形式。

Lagrange 中值定理

中值定理中的有限增量公式

$$f(b) - f(a) = f'(\xi) (b - a), \quad \xi \in (a, b), a<b$$

实质上是 Lagrange 余项的 Taylor 公式展到零阶的形式。

应用

参见Practice:数学分析/Taylor 公式。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.