t 分布

$\textbf{t}$分布是在数理统计中常用的一种概率分布，它和假设检验的 t 检验有密切关系。最初该分布是由英国统计学家 Gosset 以“Student”为笔名的一篇论文中引出的，因此也称学生 t 分布，是统计学中三大分布之一。

模型

设有连续型随机变量$X$，它的概率密度函数是

$$t_n(x) = \dfrac{\Gamma\!\left( \frac{n+1}{2} \right)}{\sqrt{n\pi}~\Gamma\!\left( \frac{n}{2} \right)} \left( 1 + \dfrac{x^2}{n} \right)^{-\frac{n+1}{2}}$$

其中，$n$是正整数，我们就说随机变量$X$服从自由度为$n$的$t$分布，记作$X \sim t(x;n)$。当$n=1$时为 Cauchy 分布。

t 分布的一些图，颜色越深$n$值越大，虚线为$n \to \infty$时的渐近分布——标准正态分布。

该分布关于$x = 0$对称，是肥尾分布。

矩

$t$分布的均值在$n>1$时存在，为$0$，方差在$n>2$时存在，为$\dfrac{n}{n-2}.$

设$X \sim t_n(x)$，$n>1$，$E(X^r)$只有当$r < n$时存在，为

$$E(X^r) = \begin{cases} n^{\frac{r}{2}} \dfrac{\Gamma\!\left(\frac{r+1}{2}\right) \Gamma\!\left(\frac{n-r}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{n}{2}\right)\sqrt{\pi}}, & r \text{ is even}, \\ 0, & r \text{ is odd}. \end{cases}$$

导出

该分布可以由下述情形导出：设随机变量$X, Y$相互独立，且$X \sim N(0, 1), Y \sim \chi^2_n$，即$X$服从标准正态分布，$Y$服从自由度为$n$的$\chi^2$分布，那么令$M = X\sqrt{\dfrac{n}{Y}}$就满足自由度为$n$的$t$分布。

渐近分布

当$n \to \infty$时，$t_n$趋近于正态分布。

非中心 t 分布

当 t 分布推导过程中的正态变量不是标准时就会引出非中心的 t 分布。

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.