Sylow 定理

在有限群理论中，Sylow 定理是最为精彩和重要的结果，它包含有三个定理，分别回答了一群的某些素数的幂次阶群的存在性、唯一性（关系）、以及数量。

Sylow 第一定理

设有一群$G$以及一给定的素数$p$，设$|G| = p^r m, (m, p) = 1$，如果存在一个$G$的子群$P$，使得$|P| = p^r.$我们就称这样的子群是$G$的 Sylow-p 子群。

第一定理是说， Sylow-p 子群对任意的$G$以及素数$p$都是存在的。并且更进一步，如果$p^k$是$|G|$的因子，那么阶为$p^k$的子群也是存在的。

实际上，还有如下更强的结论：设$H$是$G$的 p-子群，且$H$不是 Sylow p-子群，那么存在一个$G$的 p-子群$H'$，满足$H$是$H'$的正规子群且$|H'/H| = p.$因此，若记$|G| = p^r m$如上定义，那么存在一组$G$的子群$H_i, i = 0,1,\cdots,r$使得

$$\{ e \} = H_0 < H_1 < \cdots < H_{r-1} < H_r.$$

且$H_{i-1}$在$H_i$中正规。

（Sylow 第一定理）设有限群$G$满足$|G| = p^r m, (m, p) = 1$，$p$是素数，那么$G$包含一个阶为$p^k$的子群，其中$1 \leqslant i \leqslant r$，并且每个阶为$p^i$（$i<r$）的子群都在某个$p^{i+1}$阶的子群众正规。

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用数学归纳法证明我们可以找到$p^i$阶的子群且其在$p^{i+1}$阶的某个群中正规。

1. 归纳基础：由于$p \mid |G|$，由 Cauchy 定理我们能找到一个$p$阶元$a \in G$，那么自然就找到了一个$G$的$p$阶子群$H_1 := \langle a \rangle$。
2. 归纳假设：假设我们找到了$p^i$阶群$H_i$，$1 \leqslant i < n.$
3. 归纳证明：由于$p \mid [G: H_i]$，那么$H_i$对应的正规化子群$N_G(H_i) \ne H_i$，这就表明$[N_G(H_i): H_i] = |N_G(H_i)/H_i| > 1.$而由正规化子群#有限p群的性质我们得到
   $$[N_G(H_i): H_i] \equiv [G: H_i] \equiv 0 \pmod{p},$$
   于是$p \mid |N_G(H)/H|$，由 Cauchy 定理$N_G(H)/H$存在一个$p$阶子群$\langle a_i + H \rangle$，由商群#商群的子群的性质，$\langle a_i + H \rangle$有形式$H_{i+1} / H$且$H_{i+1}$是$G$的子群，由于$H_i$在$N_G (H)$中正规，那么它也在$H_{i+1}$中正规（$H_{i+1}$是$N_G (H)$中包含$H_i$的子群），于是$H_{i+1}$就是符合条件的$p^{i+1}$阶子群。

Sylow 第二定理

给定一群$G$，不同的 Sylow-p 子群之间互为共轭关系，这也就是说若$P, Q$都是$G$的 Sylow-p 子群，那么存在$g \in G$使得$P = gQg^{-1}.$于是，如果$P$在$G$中正规，那么$G$的 Sylow-p 子群只有一个。

（Sylow 第二定理）假设有限群$G$的阶数是$p^r m, (m, p) = 1$，$p$是素数，如果存在阶数$p^k$的$G$子群$H$，且$1 \leqslant k \leqslant r$，那么对任意$G$的 Sylow-p 子群$P$都存在$x \in G$使得$H \leqslant xPx^{-1}.$

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假设$S$是$P$在$G$中所有左陪集的全体，那么$|S| = [G: P]$，让$H$群作用在集合$S$上，这个作用的不动点集记作

$$S_0 = \{ xP \in S: hxP = xP, \forall h \in H \}.$$

由轨道#数量关系我们有

$$|S_0| \equiv |S| = [G: P] \pmod{p}.$$

由于$p \not\mid [G: P] = m$，于是$|S_0| > 0$进而存在$xP \in S_0$，下面的计算表明这个$x$就是我们想要的。

$$\begin{align} xP \in S_0 & \iff hxP = xP, \forall h \in H \\ & \iff x^{-1}hx P = P, \forall h \in H \\ & \iff x^{-1}hx \in P, \forall h \in H \\ & \iff x^{-1}Hx \leqslant P \\ & \iff H \leqslant xPx^{-1}. \end{align}$$

Sylow 第三定理

第三个定理是说 Sylow-p 子群的数量问题。

（Sylow 第三定理）假设有限群$G$的阶数是$p^r m, (m, p) = 1$，$p$是素数，那么$G$的 Sylow-p 子群数量是$m$的因子且模$p$同余于1.

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由于任意两个 Sylow-p 子群之间都是共轭的，这就说明 Sylow-p 子群的数量是其中一个 Sylow-p 子群$P$的共轭类的数量。令$T$是$G$的所有 Slyow-p 子群的全体，让$P$共轭群作用在$T$上，我们断言这个群作用的不动点集

$$T_0 = \{ Q \in T: xQx^{-1} = Q, \forall x \in P \}$$

只有一个元素$P$，是祭祀啊很难过，假设$Q \in T_0$，我们有$xQx^{-1} = Q, \forall x \in P$即$P$在$Q$对应的正规化子群$N_G(Q)$里面，由于$P, Q$是$G$的 Sylow-p 子群，自然也是$N_G(Q)$的 Sylow-p子群，因此也在$N_G(Q)$中互为共轭，由 Sylow 第二定理，$Q$是$N_G(Q)$的正规的 Sylow-p 子群，可是 Sylow-p 子群都是共轭的，如果正规那么数量只有一个，进而$P = Q$，即$|T_0| = 1$，于是$|T| \equiv |T_0| = 1 \pmod{p}.$

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.