Stolz 定理

Stolz 定理（斯托尔兹－切萨罗定理，O.Stolz 公式，Stolz–Cesàro theorem）是一个求解数列未定式极限的一个方法，它对 $\dfrac{*}{\infty}$ 型和 $\dfrac{0}{0}$ 型的数列未定式有效，可以认为是数列（离散形式）的 L' Hospital 法则。

内容

$\dfrac{*}{\infty}$ 型的 Stolz 定理是，若数列 $\{ a_n \}$ 是严格单调递增的无穷大量，且

$$\lim _{n \to \infty} \dfrac{b_{n+1} - b_n}{a_{n+1} - a_n} = l \in \bar{\mathbb{R}}.$$

则

$$\lim _{n \to \infty} \dfrac{b_n}{a_n} = l.$$

$\dfrac{0}{0}$ 型的 Stolz 定理是，若数列 $\{ a_n \}$ 是严格单调递减的无穷小量，$\{ b_n \}$ 是无穷小量，且

$$\lim _{n \to \infty} \dfrac{b_{n+1} - b_n}{a_{n+1} - a_n} = l \in \bar{\mathbb{R}}.$$

则

$$\lim _{n \to \infty} \dfrac{b_n}{a_n} = l.$$

几何意义

同 L' Hospital 法则有斜率的意义类似，Stolz 定理也可以理解为数列差分的比值，进而类比于折线的斜率。

注意

这个命题的逆命题不成立，当满足条件的$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$存在时，$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$未必存在。如设$a_n = 7n- (-1)^n$，$b_n = 7n- 2\times (-1)^n$，这2个正实数数列都是严格单调递增的且发散至无穷大。易知$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$存在，且数值为1。但是
$\begin{align} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} & = \frac{7(n+1)- (-1)^{n+1}- (7n - (-1)^n)}{7(n+1)- 2\times (-1)^{n+1} - (7n- 2\times (-1)^n)} \\ & = \frac{7- (-1)^{n+1} + (-1)^n}{7 - 2\times (-1)^{n+1} + 2\times (-1)^n} \end{align}$
当$n \to \infty$时是震荡的，即此差分之商的极限值不存在。

拓展

这个定理也可以拓展到函数的情形。

$\dfrac{*}{\infty}$ 型的函数 Stolz 定理是，设常数 $T>0$，$\forall x \geqslant a, g(x+T) > g(x)$，且 $\lim _{x \to + \infty} g(x) = + \infty$，$f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $a$ 的任意右邻域中有界，且

$$\lim _{x \to + \infty} \dfrac{f(x+T) - f(x)}{g(x+T) - g(x)} = l \in \bar{\mathbb{R}}.$$

则

$$\lim _{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = l.$$

对于$\dfrac{0}{0}$ 型，也有类似的结论，此时要求 $\forall x \geqslant a, 0 < g(x+T) < g(x)$，且 $\lim _{x \to + \infty} f(x) = \lim _{x \to + \infty} g(x) = 0.$

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（上）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6805-8.
2. 裴礼文, 《数学分析中的典型问题与方法（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2006-04, ISBN 978-7-0401-8454-9.