Stirling 公式

Stirling 公式（斯特林）是一个对整数阶乘$n!$在$n \to \infty$的发散速度估计的公式，在统计中有重要应用。

内容

设$n \in \mathbb{N}^+$，那么

$$n! \sim \sqrt{2 \pi n} n^n \text{e}^{-n}, ~(n \to +\infty);$$

上述公式可以进一步精细化，在$n$很大时

$$n! = \sqrt{2 \pi n} n^n \text{e}^{-n+\frac{\theta_n}{12n}}, \quad \theta_n \in [0, 1].$$

由此，我们可以知道阶乘发散的速度和$n^n$相当，由这个公式进而得到

$$\sqrt[n]{n!} \sim \dfrac{n}{\text{e}}, ~(n \to +\infty).$$

这也表明，极限

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \dfrac{1}{\text{e}}.$$

如果将$n$推广到正实数，便得到$\Gamma$函数发散估计 $\Gamma (x+1) \sim \sqrt{2 \pi x} x^x \text{e}^{-x}, ~(x \to +\infty).$

双阶乘的估计

设$n \in \mathbb{N}^+$，考察双阶乘$(2n)!!$和$(2n+1)!!$，注意到

$$(2n)!! = 2^n n!, \quad (2n+1)!! = \dfrac{(2n+1)!}{2^n n!}$$

于是

$$\begin{align} \dfrac{(2n+1)!!}{(2n)!!} & = \dfrac{(2n+1)!}{2^n (n!)^2} \\ & \sim \dfrac{\sqrt{2 \pi (2n+1)} \text{e}^{-2n-1} (2n+1)^{2n+1}} {2 \pi n \text{e}^{-2n} (2n)^{2n}} \\ & = \dfrac{2n+1}{\text{e} n} \left( 1 + \dfrac{1}{2n} \right)^{2n} \sqrt{\dfrac{2n+1}{2\pi}}. \end{align}$$

进而

$$\dfrac{(2n+1)!!}{(2n)!!} \sim 2 \sqrt{\dfrac{n}{\pi}}, \quad n \to \infty,$$

这说明上述双阶乘的比值发散，且发散速度和$\sqrt{n}$一样。

此外，我们还可得到

$$\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{(2n+1)!!}{(2n)!!} \right)^{\frac{1}{n}} = 1$$

这说明，$\sqrt[n]{(2n)!!}$和$\sqrt[n]{(2n+1)!!}$的发散速度是一样的。

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（下）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6807-2.