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Sobolev 空间(索伯列夫空间)是广义函数论中的一个十分重要的空间,在偏微分方程和调和分析里有广泛应用。

这个页面主要关注空间的性质,关于 Sobolev 函数的具体性质,例如迹定理、延拓定理以及可微性的讨论,参见 Sobolev 函数

概念[]

给定有界单连通开集是非负整数,记号表示连续到边界且无穷可微的函数全体。如下集合

范数下的完备化空间称为 Sobolev 空间。借用广义函数,我们可以对其中的元素做完整的描写,如下的结果属于 Meyers 和 Serrin:

假设是开集,是非负整数,,上述定义的 Sobolev 空间就是集合
按范数

构成的空间。其中是广义微商。 我们给出区域可扩张的概念,以便讨论不同空间之间的关系:称开集是可扩张的,是指存在一个连续线性算子且满足

实际上这就是算子的连续延拓。

基本性质[]

  1. Sobolev 空间是 Banach 空间
  2. 如果是开区间,那么,即绝对连续函数空间,,即 Lipschitz 空间,且广义微商就是几乎处处导数(Lebesgue 微分定理)。
  3. 基本空间中稠密。
  4. 假设,那么且存在使得
  5. Sobolev 空间可以等距嵌入到空间的乘积空间中,这是自然的,注意到函数自身及其各阶弱导数都是的,我们可以自然地将复制很多份,让每个函数空间都对应一个弱导数或原函数,这样做方便我们理解这个抽象空间,也可以更好地描述其上的泛函。
  6. Sobolev 空间是自反空间,自反空间的线性闭子空间及有限乘积空间是自反的,结合上一条的等距嵌入立即得到。
  7. ,则可以连续嵌入到中,结合等距嵌入立即得到。

Poincare 不等式[]

假设是有界开集,连续可微且在边界的某邻域中取值为零的函数全体。 那么存在仅依赖于区域的常数使得

我们知道集合按照普通的加法和数乘构成一线性空间,上述不等式则表明,上有如下两个等价范数

按照完备化之后的空间为,它是 Sobolev 空间。且是的闭子空间,特别地,还是 Hilbert 空间,它的内积定义为

嵌入定理[]

Sobolev 空间可以在一定条件下嵌入到我们更熟悉的 空间中去。连续嵌入表明,原空间中的收敛列连续嵌入到空间后依然收敛。紧嵌入表明,原空间中的有界列(特别地,弱收敛列)紧嵌入到空间后有收敛子列(度量空间中,紧等价于列紧)。

连续嵌入定理[]

Sobolev 嵌入定理)假设是可扩张的有界区域,

  1. 那么存在连续的单射(我们这时称可以连续嵌入到中);
  2. 那么存在连续的单射,其中称为的 Sobolev 共轭指标。
  3. 那么存在连续的单射,其中

紧嵌入定理[]

Rellich-Kondrachov 定理)假设是可扩张的有界区域,

  1. 那么存在紧的单射(我们这时称可以紧嵌入到中);
  2. 那么存在紧的单射,其中注意,临界指标上对应的连续嵌入不是紧的。

无界区域上的嵌入定理[]

如果上面提到的积分区域是无界的,情况要麻烦一些,最好处理的是全空间,参见 Sobolev 嵌入定理,对于其它的无界区域需要考察它的对称性,详见 Lions 引理

共轭空间[]

边界迹为零的空间[]

我们把的共轭空间记作,由于可以连续嵌入到中去,故(作为)可以连续嵌入到中去。这就表明是比中的广义函数更多的空间。

下面的定理可以帮助我们描述中的元素:

定义在上的广义函数当且仅当存在)使得

进一步,中的元素都可以写作中函数的广义微商的和,即

特别地,Dirac 函数

一般空间[]

一般的 Sobolev 空间,如果,不能使用 Riesz 表示定理,只能借助将其等距嵌入到中考察,乘积空间的连续线性泛函我们是知道的,由 Hahn-Banach 定理当且仅当存在使得

参考资料

  1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义(上册)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
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