Sobolev 空间(索伯列夫空间)是广义函数论中的一个十分重要的空间,在偏微分方程和调和分析里有广泛应用。
这个页面主要关注空间的性质,关于 Sobolev 函数的具体性质,例如迹定理、延拓定理以及可微性的讨论,参见 Sobolev 函数。
概念[]
给定有界单连通开集
,
是非负整数,
,记号
表示
上连续到边界且无穷可微的函数全体。如下集合

在
范数
下的
完备化空间称为 Sobolev 空间。借用
广义函数,我们可以对其中的元素做完整的描写,如下的结果属于 Meyers 和 Serrin:
- 假设
是开集,
是非负整数,
,上述定义的 Sobolev 空间就是集合
按范数
构成的空间。其中
是广义微商。
我们给出区域可扩张的概念,以便讨论不同空间之间的关系:称开集
是可扩张的,是指
存在一个连续线性算子
且满足

实际上这就是算子的连续延拓。
基本性质[]
- Sobolev 空间是 Banach 空间。
- 如果
是开区间,那么
,即绝对连续函数空间,
,即 Lipschitz 空间,且广义微商就是几乎处处导数(Lebesgue 微分定理)。
- 基本空间
在
中稠密。
- 假设
,那么
且存在
使得
- Sobolev 空间
可以等距嵌入到
空间的乘积空间
中,这是自然的,注意到
函数自身及其各阶弱导数都是
的,我们可以自然地将
复制很多份,让每个函数空间都对应一个弱导数或原函数,这样做方便我们理解这个抽象空间
,也可以更好地描述其上的泛函。
- Sobolev 空间是自反空间,自反空间的线性闭子空间及有限乘积空间是自反的,结合上一条的等距嵌入立即得到。
- 设
,则
可以连续嵌入到
中,结合等距嵌入立即得到。
假设
是有界开集,
是
次连续可微且在边界
的某邻域中取值为零的函数全体。
那么存在仅依赖于区域
和
的常数
使得

我们知道集合
按照普通的加法和数乘构成一线性空间,上述不等式则表明,
上有如下两个等价范数

记

按照

完备化之后的空间为

,它是 Sobolev 空间。且是

的闭子空间,特别地,

还是
Hilbert 空间,它的
内积定义为

嵌入定理[]
Sobolev 空间可以在一定条件下嵌入到我们更熟悉的
空间中去。连续嵌入表明,原空间中的收敛列连续嵌入到
空间后依然收敛。紧嵌入表明,原空间中的有界列(特别地,弱收敛列)紧嵌入到
空间后有收敛子列(度量空间中,紧等价于列紧)。
连续嵌入定理[]
(Sobolev 嵌入定理)假设
是可扩张的有界区域,
- 若
那么存在连续的单射
(我们这时称
可以连续嵌入到
中);
- 若
那么存在连续的单射
,其中
,
称为
的 Sobolev 共轭指标。
- 若
那么存在连续的单射
,其中
。
紧嵌入定理[]
(Rellich-Kondrachov 定理)假设
是可扩张的有界区域,
- 若
那么存在紧的单射
(我们这时称
可以紧嵌入到
中);
- 若
那么存在紧的单射
,其中
注意,临界指标上对应的连续嵌入不是紧的。
无界区域上的嵌入定理[]
如果上面提到的积分区域是无界的,情况要麻烦一些,最好处理的是全空间,参见 Sobolev 嵌入定理,对于其它的无界区域需要考察它的对称性,详见 Lions 引理。
边界迹为零的空间[]
我们把
的共轭空间记作
,由于
可以连续嵌入到
中去,故
(作为
)可以连续嵌入到
中去。这就表明
是比
中的广义函数更多的空间。
下面的定理可以帮助我们描述
中的元素:
- 定义在
上的广义函数
当且仅当存在
(
)使得
进一步,
中的元素
都可以写作
中函数的广义微商的和,即

特别地,
Dirac 函数
一般空间[]
一般的 Sobolev 空间
,如果
,不能使用 Riesz 表示定理,只能借助将其等距嵌入到
中考察,乘积空间的连续线性泛函我们是知道的,由 Hahn-Banach 定理,
当且仅当存在
使得

参考资料