Schwarz 引理

复变函数中，Schwarz 引理是一个揭示某种解析变换性质的定理。它的几何意义是说，满足$f(0) = 0, |f(z)|<1$的解析变换，将单位圆中的点映射成了离原点更近的点。

内容

在单位圆$|z| < 1$内解析的函数$f(z)$，如果$f(0) = 0, |f(z)|<1$，则在单位圆内恒有 $$|f(z)| \leqslant |z|, |f'(0)| \leqslant 1.$$ 当且仅当 $$f(z) = \text{e}^{\text{i}\alpha} z, \alpha \in \R$$ 时等号成立。

上述如果$z=0$是$f(z)$的$n$阶零点，其他条件不变，那么 $$|f(z)| \leqslant |z|^n, |f'(0)| \leqslant 1.$$ 当且仅当 $$f(z) = \text{e}^{\text{i}\alpha} z^n, \alpha \in \R$$ 时等号成立。

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.