Schwartz 空间

在分析中，Schwartz 函数或称速降函数，是 Fourier 分析的研究中引入的一类函数，这些函数都是光滑的且导数在无穷远处迅速衰减（其函数和各阶导数的衰减速度比多项式的任意倒数都快）。

速降函数

$\R^n$上的 Schwartz 函数类$\mathcal{S}(\R^n)$（简记为$\mathcal{S}$）收集了$\R^n$上全体满足如下条件的光滑函数$f(x)$： $$p_{\alpha, \beta}(f) := \sup_{x \in \R^n} |x^\alpha D^\beta f(x)| < + \infty.$$ 其中$\alpha, \beta \in \N^n$，上述向量上标和导数记号使用了多重指标。这样的函数也称 Schwartz 函数或速降函数。

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1. 显然有紧支集的光滑函数类$C_c^\infty(\R^n) \subset \mathcal{S}(\R^n).$
2. Gauss 函数$\text{e}^{-|x|^2}$是经典的速降函数。
3. 多项式函数乘以速降函数后依然是速降函数，特别地如果$p(x)$是多项式，那么$p(x)\text{e}^{-|x|^2}$就是一类常见的速降函数。
4. 速降函数的乘积依然是速降函数。

通过验证我们可以得到$f \in \mathcal{S}$当且仅当以下任意一款成立

1. 对任意的$N \in \N, \beta \in \N^n$成立$$\|f\|_{N,\beta }:=\max _{x\in \mathbb {R} ^{n}}(1+|x|^{2})^{N}|D^{\beta }f(x)|<+\infty .$$
2. 对任意的$N \in \N$成立$$\|f\|_{N}:=\sup _{\beta :|\beta |\leqslant N}\max _{x\in \mathbb {R} ^{n}}(1+|x|^{2})^{N}|D^{\beta }f(x)|<+\infty .$$
3. 对任意的$N \in \N$成立$$\|f\|_{N}^{\sim }:=\sup _{\beta :|\beta |\leqslant N}\max _{x\in \mathbb {R} ^{n}}(1+|x|)^{N}|D^{\beta }f(x)|<+\infty .$$

参见这个页面。

半范数和度量

上述定义的可列个$\{ p_{\alpha, \beta} \}$提供了$\mathcal{S}$上的如下收敛性： $$\{ f_n \} \to f \iff \forall \alpha, \beta \in \N^n, \lim_{n \to \infty} p_{\alpha, \beta} (f_k - f) = 0.$$ 这样，我们指出：

1. 定义度量$$d(f, g) = \sum_{\alpha, \beta} \dfrac{1}{2^{|\alpha|+|\beta|}} \dfrac{p_{\alpha, \beta}(f-g)}{1 + p_{\alpha, \beta}(f-g)}$$后$f_n \to f$当且仅当$d(f_n - f) \to 0.$这也就是说，这个度量$d$是和上述收敛性决定的拓扑等价的度量且是完备的，进而$\mathcal{S}$是可度量化的。
2. $\mathcal{S}$是局部凸的 Frechet 空间。
3. $\mathcal{S}$不是可赋范的，也就是说我们不可能找到一个范数使得它诱导的度量和上面定义的$d$等价。
4. 上述定义的每个$p_{\alpha, \beta}$都是$\mathcal{S}$上的范数，因此是可数范数空间，但是它们诱导的度量都不会和$d$等价。

空间关系

如果我们不考察拓扑结构，那么显然有紧支集的光滑函数类$C_c^\infty(\R^n) \subset \mathcal{S}(\R^n)$且在无穷远处消失的连续函数类$C_0^\infty(\R^n) \supset \mathcal{S}(\R^n)$。

如果连带上拓扑结构，我们将会得到：

1. $C_c^\infty(\R^n)$按照$p_{\alpha, \beta}$决定的拓扑在$\mathcal{S}$中稠密。
2. 对于$1 \leqslant p < +\infty$，$\mathcal{S}(\R^n)$按$L^p$范数在$L^p(\R^n)$中稠密（这是因为$C_c^\infty(\R^n)$按$L^p$范数在$L^p(\R^n)$中稠密）。

证明可参见这里。

缓增广义函数

速降函数类上的有界线性泛函称作缓增广义函数或缓增分布（tempered distribution），它是$\mathcal{S}$的对偶空间中的元素，其全体记作$\mathcal{S}'$。定义$T \in \mathcal{S}'$的 Fourier 变换$\hat{T}$为 $$\hat{T}(f) = T(\hat{f}), \quad \forall f \in \mathcal{S}.$$ 这样定义的 Fourier 变换是$\mathcal{S}'$上的有界线性同构，且它的逆变换也是有界的。

这种方式可以引导我们将 Fourier 变换推广到一般的$L^p$空间中去。

参考资料

1. Loukas Grafakos, Classical Fourier Analysis, Springer New York, 2014-11, ISBN 978-1-4939-1193-6.