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在研究赋范线性空间的性质的时候,如果这个空间有一个基底,那么对相关线性问题的研究将变得比较容易,对无穷维空间而言,我们可以类似线性空间的基底的定义给出基于有限线性组合给出的基的定义,即 Hamel 基,考虑到赋范线性空间上有拓扑结构,我们也可以给出依赖于无穷求和(得到的收敛性)决定的无限(可列求和)线性组合给出的基的定义,这就是 Schauder 基。

定义[]

假设上的 Banach 空间,如果存在一个可数集使得对任意的都存在唯一的可数数列使得

我们就称的一个 Schauder 基,也直接称的一个基(basis)。

上述唯一性等价于

很容易知道如果有一个 Schauder 基,那么一定是可分的,例如,如果是实的 Banach 空间,那么

空间的具象化[]

假设 Banach 空间有基,我们定义如下序列空间

并对任意定义
那么可以验证关于上述构成一个 Banach 空间

进一步一一对应,这样我们就可以定义线性算子,且由于

这就表明连续,由逆算子定理得到存在且连续。

双对偶系统[]

我们考察上的线性泛函,它是加性函数,又因为

于是是连续的线性泛函,这样我们可以得到一族泛函,于是对任意的都有
同时
这样我们就说是双正交的(biorthogonal)。于是对任意的我们有
定义,这就得到
上的基。

算子的矩阵形式[]

假设具有基连续,那么对任意的,我们有

又因为,它在基下也有表示
本身也有表示,由表示的唯一性得到
于是的效果就相当于一个无穷维的矩阵,进一步可以证明,即的伴随就是它的共轭转置。

紧性定理[]

假设是具有基的 Banach 空间,其中的一个集合紧当且仅当它是有界集且对任意的存在使得对任意的以及自然数都有
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

证明参见

L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3 Ed.)[§5.2], International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.

我们知道,一个 Banach 空间上的紧连续线性算子未必可以用有限秩算子逼近,但是如果具有基,那么这就可以办到了。

假设具有基,那么任意上的紧连续线性算子都可以被一致逼近,其中
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

假设中的闭单位球,列紧,那么由上一个定理,对任意的存在使得对任意的,以及都有

于是是有限秩的线性算子,且
这就表明一致收敛于

参考资料

  1. L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.), International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.
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