在研究赋范线性空间的性质的时候,如果这个空间有一个基底,那么对相关线性问题的研究将变得比较容易,对无穷维空间而言,我们可以类似线性空间的基底的定义给出基于有限线性组合给出的基的定义,即 Hamel 基 ,考虑到赋范线性空间上有拓扑结构,我们也可以给出依赖于无穷求和(得到的收敛性)决定的无限(可列求和)线性组合给出的基的定义,这就是 Schauder 基。
定义 [ ]
假设
X
{\displaystyle X}
是域
K
{\displaystyle \mathbb{K}}
上的 Banach 空间 ,如果存在一个可数集
{
e
i
}
⊂
X
{\displaystyle \{e_{i}\}\subset X}
使得对任意的
x
∈
X
{\displaystyle x \in X}
都存在唯一的可数数列
{
a
i
}
⊂
K
{\displaystyle \{a_{i}\}\subset \mathbb {K} }
使得
x
=
∑
i
=
1
∞
a
i
e
i
{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}e_{i}}
我们就称
{
e
n
}
{\displaystyle \{e_{n}\}}
是
X
{\displaystyle X}
的一个 Schauder 基,也直接称
{
e
i
}
{\displaystyle \{e_i\}}
是
X
{\displaystyle X}
的一个基(basis)。
上述唯一性等价于
∑
i
=
1
a
i
e
i
=
0
⟺
a
i
=
0.
{\displaystyle \sum _{i=1}a_{i}e_{i}=0\iff a_{i}=0.}
很容易知道如果
X
{\displaystyle X}
有一个 Schauder 基,那么
X
{\displaystyle X}
一定是
可分的 ,例如,如果
X
{\displaystyle X}
是实的 Banach 空间,那么
span
{
r
i
e
i
:
r
i
∈
Q
}
¯
=
X
.
{\displaystyle {\overline {{\text{span}}\{r_{i}e_{i}:r_{i}\in \mathbb {Q} \}}}=X.}
空间的具象化 [ ]
假设 Banach 空间
X
{\displaystyle X}
有基
{
e
i
}
{\displaystyle \{e_i\}}
,我们定义如下序列空间
X
~
:=
{
(
a
i
)
:
a
i
∈
K
,
{
∑
i
=
1
n
a
i
e
i
}
n
is convergenent in
X
}
{\displaystyle {\widetilde {X}}:=\left\{(a_{i}):a_{i}\in \mathbb {K} ,\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}\right\}_{n}{\text{ is convergenent in }}X\right\}}
并对任意
y
=
(
a
i
)
∈
X
~
{\displaystyle y=(a_{i})\in {\widetilde {X}}}
定义
‖
y
‖
=
sup
n
∈
N
+
{
∑
i
=
1
n
a
i
e
i
}
{\displaystyle \|y\|=\sup _{n\in \mathbb {N} ^{+}}\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}\right\}}
那么可以验证
X
~
{\displaystyle {\widetilde {X}}}
关于上述
‖
⋅
‖
{\displaystyle \| \cdot \|}
构成一个
Banach 空间 。
进一步
x
=
∑
i
=
1
∞
a
i
e
i
∈
X
{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}e_{i}\in X}
与
y
=
(
a
i
)
∈
X
~
{\displaystyle y=(a_{i})\in {\widetilde {X}}}
一一对应,这样我们就可以定义线性算子
A
:
x
=
A
y
{\displaystyle A:x=Ay}
,且由于
‖
A
y
‖
=
‖
x
‖
=
‖
∑
i
=
1
∞
a
i
e
i
‖
⩽
sup
n
∈
N
+
‖
∑
i
=
1
n
a
i
e
i
‖
=
‖
y
‖
{\displaystyle \|Ay\|=\|x\|=\left\|\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}e_{i}\right\|\leqslant \sup _{n\in \mathbb {N} ^{+}}\left\|\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}\right\|=\|y\|}
这就表明
A
{\displaystyle A}
连续,由
逆算子定理 得到
A
−
1
{\displaystyle A^{-1}}
存在且连续。
双对偶系统 [ ]
我们考察
X
{\displaystyle X}
上的线性泛函
f
k
:
x
=
∑
i
=
1
∞
a
i
e
i
↦
a
k
{\displaystyle f_{k}:x=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}e_{i}\mapsto a_{k}}
,它是加性函数,又因为
|
f
k
(
x
)
|
=
|
a
k
|
‖
a
k
e
k
‖
‖
e
k
‖
⩽
1
‖
e
k
‖
‖
∑
i
=
1
k
a
i
e
i
−
∑
i
=
1
k
−
1
a
i
e
i
‖
⩽
2
‖
e
k
‖
sup
n
∈
N
+
‖
∑
i
=
1
n
a
i
e
i
‖
⩽
2
‖
A
−
1
‖
‖
e
k
‖
‖
x
‖
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|f_{k}(x)|&=|a_{k}|{\dfrac {\|a_{k}e_{k}\|}{\|e_{k}\|}}\\&\leqslant {\dfrac {1}{\|e_{k}\|}}\left\|\sum _{i=1}^{k}a_{i}e_{i}-\sum _{i=1}^{k-1}a_{i}e_{i}\right\|\\&\leqslant {\dfrac {2}{\|e_{k}\|}}\sup _{n\in \mathbb {N} ^{+}}\left\|\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}\right\|\\&\leqslant {\dfrac {2\|A^{-1}\|}{\|e_{k}\|}}\|x\|.\end{aligned}}}
于是
f
k
{\displaystyle f_k}
是连续的线性泛函,这样我们可以得到一族泛函
{
f
k
}
k
=
1
∞
{\displaystyle \{ f_k \}_{k=1}^\infty}
,于是对任意的
x
∈
X
{\displaystyle x \in X}
都有
x
=
∑
i
=
1
∞
f
i
(
x
)
e
i
.
{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{\infty }f_{i}(x)e_{i}.}
同时
f
i
(
e
j
)
=
δ
i
j
=
{
1
,
i
=
j
,
0
,
i
≠
j
.
{\displaystyle f_{i}(e_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{cases}}}
这样我们就说
{
e
i
}
{\displaystyle \{e_i\}}
和
{
f
j
}
{\displaystyle \{f_{j}\}}
是双正交的(biorthogonal)。于是对任意的
f
∈
X
∗
{\displaystyle f \in X^*}
我们有
f
(
x
)
=
∑
i
=
1
∞
f
i
(
x
)
f
(
e
i
)
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{\infty }f_{i}(x)f(e_{i}).}
定义
c
i
=
f
(
e
i
)
{\displaystyle c_{i}=f(e_{i})}
,这就得到
f
=
∑
i
=
1
∞
c
i
f
i
.
{\displaystyle f=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}f_{i}.}
即
{
f
i
}
{\displaystyle \{ f_i \}}
是
X
∗
{\displaystyle X^*}
上的基。
算子的矩阵形式 [ ]
假设
X
{\displaystyle X}
具有基
{
e
i
}
{\displaystyle \{e_i\}}
,
T
:
X
→
X
{\displaystyle T: X \to X}
连续,那么对任意的
x
=
∑
i
=
1
∞
a
i
e
i
{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}e_{i}}
,我们有
y
:=
T
x
=
∑
i
=
1
∞
a
i
T
e
i
.
{\displaystyle y:=Tx=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}Te_{i}.}
又因为
T
e
i
∈
X
{\displaystyle Te_{i}\in X}
,它在基
{
e
i
}
{\displaystyle \{e_i\}}
下也有表示
T
e
i
=
∑
k
=
1
∞
t
k
i
e
i
.
{\displaystyle Te_{i}=\sum _{k=1}^{\infty }t_{ki}e_{i}.}
而
y
∈
X
{\displaystyle y \in X}
本身也有表示
y
=
∑
m
=
1
∞
b
m
e
m
{\displaystyle y=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e_{m}}
,由表示的唯一性得到
b
m
=
f
m
(
y
)
=
f
m
(
∑
i
=
1
∞
a
i
∑
k
=
1
∞
t
k
i
e
i
)
=
∑
i
=
1
∞
a
i
∑
k
=
1
∞
t
k
i
f
m
(
e
i
)
=
∑
k
=
1
∞
t
k
i
a
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}b_{m}=f_{m}(y)&=f_{m}\!\left(\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\sum _{k=1}^{\infty }t_{ki}e_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\sum _{k=1}^{\infty }t_{ki}f_{m}(e_{i})=\sum _{k=1}^{\infty }t_{ki}a_{m}.\\\end{aligned}}}
于是
T
{\displaystyle T}
的效果就相当于一个无穷维的矩阵
(
t
k
i
)
N
+
×
N
+
{\displaystyle (t_{ki})_{\mathbb {N} ^{+}\times \mathbb {N} ^{+}}}
,进一步可以证明
A
∗
=
(
t
i
k
¯
)
N
+
×
N
+
{\displaystyle A^{*}=({\overline {t_{ik}}})_{\mathbb {N} ^{+}\times \mathbb {N} ^{+}}}
,即
T
{\displaystyle T}
的伴随就是它的共轭转置。
紧性定理 [ ]
假设
X
{\displaystyle X}
是具有基
{
e
i
}
{\displaystyle \{e_i\}}
的 Banach 空间,其中的一个集合
K
{\displaystyle K}
紧当且仅当它是有界集且对任意的
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon > 0}
存在
n
0
∈
N
+
{\displaystyle n_0 \in \N^+}
使得对任意的
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
以及自然数
n
>
n
0
{\displaystyle n > n_0}
都有
‖
R
n
x
‖
=
‖
∑
i
=
n
+
1
∞
a
i
e
i
‖
<
ε
.
{\displaystyle \|R_{n}x\|=\left\|\sum _{i=n+1}^{\infty }a_{i}e_{i}\right\|<\varepsilon .}
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
证明参见
L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3 Ed.) [§5.2], International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4
.
我们知道,一个 Banach 空间上的紧连续线性算子 未必可以用有限秩算子逼近,但是如果
X
{\displaystyle X}
具有基,那么这就可以办到了。
假设
X
{\displaystyle X}
具有基,那么任意
X
{\displaystyle X}
上的紧连续线性算子
T
{\displaystyle T}
都可以被
{
S
n
}
{\displaystyle \{S_n\}}
一致逼近,其中
S
n
=
I
−
R
n
.
{\displaystyle S_{n}=I-R_{n}.}
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
参考资料 L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.) , International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4
.