S 空间

S 空间是一个重要的 Frechet 空间（即完备的赋准范数线性空间）。

定义

序列空间

假设集合$s$由无穷数列$x = (x_n) = \{ x_1, x_2, \cdots \}$构成，其中定义了线性运算

1. 加法：$x + y = \{ x_1 + y_1, x_2 + y_2, \cdots \}, \quad \forall x = (x_n), y = (y_n) \in s.$
2. 数乘：$kx = \{ kx_1, kx_2, \cdots \}, \quad \forall k \in \mathbb{K}, x \in s.$

那么$S$是一个线性空间，定义 $$\| x \| = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n} \dfrac{|x_n|}{1+|x_n|}.$$ 那么$\| \cdot \|$是$S$上的一个准范数，$s$是$F^*$空间。

进一步可以证明$s$还是完备的，因此可得$S$是 Frechet 空间。其中的准范数不是范数，因此它不是 Banach 空间。

在该空间中，依准范数诱导的距离收敛和依坐标收敛是等价的。虽然$s$上也可以定义其他的各种不同的收敛方式，但上述准范数意义下的收敛是性质最好的。

解析函数空间

假设$\mathcal{A}$是复平面中单位开圆盘$D := \{ z: |z| < 1 \}$中解析函数全体，规定 $$\rho(f, g) := \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n} \max_{z: |z| < 1-\frac{1}{n}} \dfrac{|f(z) - g(z)|}{1+|f(z) - g(z)|}, \quad f, g \in \mathcal{A}.$$ 则$(\mathcal{A}, \rho)$是度量空间，同时还是 Frechet 空间。

序列$\{ f_k(z) \} \subset \mathcal{A}$按上述距离收敛于$f(z)$当且仅当对任意$n \in \N$都成立 $$\lim_{k \to \infty} \max_{z: |z| < 1-\frac{1}{n}} |f_k(z) - f(z)| = 0.$$ 这也等价于$\{ f_k(z) \}$在$D$中任意闭区域上一致收敛于$f(z).$（内闭一致收敛）

光滑函数空间

假设$R$是$\R^n$中的一族光滑函数，且它们都仅在$x_0 \in \R^n$的一个邻域内非零，定义二元非负函数 $$\rho(f, g) := \sum_\alpha \dfrac{1}{|\alpha|!} \dfrac{\displaystyle{\max_{x \in \R^n}|D^\alpha f(x) - D^\alpha g(x)|}}{1+\displaystyle{\max_{x \in \R^n}|D^\alpha f(x) - D^\alpha g(x)|}}.$$ 上述和式对所有可能的重指标$\alpha$进行。可以证明$(R, \rho)$是距离空间。且其中序列收敛等价于按照各阶导数一致收敛。

测度空间

假设$(X, \mathcal{F}, \mu)$是测度空间，$E$是可测集，$\mu(E) < +\infty$。$E$上全体实值或复值可测函数全体记作$S$，$f, g$几乎处处相等时将其视作同一元素。定义 $$\rho(f, g) := \int_E \dfrac{|f(t) - g(t)|}{1 + |f(t) - g(t)|} \mathrm{d}\mu.$$ 因此$(S, \rho)$是度量空间且是 Frechet 空间。上面的序列空间和解析函数空间都是这个空间的特例。这个空间上的收敛是依测度收敛。

重要想法

在以上各种$S$空间的构造中，我们发现它们的距离都是通过一个特殊的分式进行的。这样的构造方法是分析中的一个常用策略。

假设$(R, \rho)$是距离空间，定义如下二元非负函数 $$\overline{\rho}(x, y) := \dfrac{\rho}{1+\rho}.$$ 可以证明$\overline{\rho}$是距离且和$\rho$等价。注意：

1. $\rho$可能是无界的但是$\overline{\rho}$一定有界。
2. $\rho(x, 0)$如果是齐次的，那么$\overline{\rho}(x, 0)$未必齐次，这常见于$\rho(x, 0)$如果可以决定一个范数，那么$\overline{\rho}(x, 0)$可能只决定了准范数。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.