Rolle 定理

Rolle 定理（常译罗尔定理）是微分学中值定理的等价定理之一。

基本内容

定理内容：设函数$f(x)$连续于$[a, b]$，可导于$(a,b)$，且$f(a) = f(b)$，则一定存在$\xi \in (a, b)$，使得$$f'( \xi ) = 0.$$ 它的几何意义是，闭区间上的可导函数，如果区间端点函数值相等，则这个函数一定有一条水平切线。

无穷区间上的推广：设函数$f(x)$连续于$[a, +\infty)$，可导于$(a, +\infty)$，且$\lim_{x \to +\infty} f(x) = f(a)$，则一定存在$\xi > a$，使得$$f'( \xi ) = 0.$$

证明

通常的证明由 Fermat 定理给出：函数 $f(x)$ 连续于 $[a, b]$，由连续函数的最值定理， $\exists x_1, x_2 \in [a, b]$，使得 $f(x_1)$ 为最小值，$f(x_2)$ 为最大值。

如果 $f(x_1) = f(x_2)$，则 $f(x)$ 为常数函数，则 $\forall x \in [a, b]$，$f'(x) = 0.$

如果 $f(x_1) < f(x_2)$，则令 $$\xi = \begin{cases} x_1, \quad x_1 \in (a, b) \\ x_2, \quad x_2 \in (a, b) \end{cases}$$ 则 $f(\xi)$ 为开区间 $(a,b)$ 内的极值，由 Fermat 定理，$f'( \xi ) = 0.$

应用

证明 Lagrange 中值定理。

例

直接应用

1.证明：存在 $\xi \in (0, \pi)$，使得 $\sin \xi + \xi \cos \xi = 0$。

提示：Rolle 定理，考虑函数 $f(x) = x \sin x$ 的导函数零点。

2.设函数 $f(x)$ 连续于 $[a, b]$，可导于 $(a,b)$，且 $f(a) = f(b)$，则一定存在 $\xi \in (a, b)$，使得下列各式成立：

1. $f( \xi ) + f'( \xi ) = 0.$
2. $f( \xi ) - f'( \xi ) = 0.$
3. $2 \xi f( \xi ) + f'( \xi ) = 0.$

提示：Rolle 定理，分别考虑函数 $g_1 (x) = \text{e}^x f(x)$，$g_2 (x) = \text{e}^{-x} f(x)$，$g_3(x) = \text{e}^{x^2} f(x)$ 的导函数零点。

原函数法

有的使用 Rolle 定理的证明题，需要构造适当的原函数来解题，如下例。

3.设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 均连续于 $[a, b]$ ，均可导于 $(a,b)$，且 $\forall x \in (a, b), g'(x) \ne 0$ ，证明：存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $$\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \dfrac{f(\xi) - f(a)}{g(b) - g(\xi)}.$$

提示：Rolle 定理。所证等式可变形为 $f'(\xi) \big( g(b) - g(\xi) \big) - g(\xi) \big( f(\xi) - f(a) \big) = 0$，即构造函数 $F(x) = \big( f(x) - f(a) \big) \cdot \big( g(b) - g(x) \big)$ 即可。

比例常数法

4.设 $f(x)$ 三阶可导于 $[a, b]$，且 $f(a) = f'(a) = f(b) = 0$，证明：$\forall c \in (a, b), \exists \xi \in (a, b)$，使得 $$f(c) = \dfrac{1}{6} f'''(\xi) (c - a)^2 (c - b).$$

提示：比例常数法。设 $k = \dfrac{6 f(c)} {(c - a)^2 (c - b)}$，函数 $F(x) = f(c) - \dfrac{1}{6} k (c - a)^2 (c - b)$ 满足 $F(a) = F(c) = F(b) = 0$，使用 Rolle 定理。

高维情形

在有限维欧氏空间中，有对应的 Rolle 定理的推广：

1. （多元函数情形）设函数$f(\boldsymbol{x})$在有界开区域$D \subset \R^n$上可微，在边界$\partial D$连续，且函数$f(\boldsymbol{x})$在边界$\partial D$上恒取常值，那么在开区域$D$内一定存在$f(\boldsymbol{x})$的驻点，即存在一点$\boldsymbol{\xi} \in D$使得$\nabla f(\boldsymbol{\xi}) = \boldsymbol{0}.$
2. （向量值函数的情形）设向量值函数$\boldsymbol{f(x)}: D ( \subset \R^n) \to \R^m$在有界开区域$D$上可微，在边界$\partial D$上连续，且存在非零向量$\boldsymbol{n}$使得对任意的$\boldsymbol{x} \in \partial D, \boldsymbol{n \cdot f(x) = 0}.$那么存在$\boldsymbol{\xi} \in D$使得对任意$\boldsymbol{u} \in \R^m, \nabla g(\boldsymbol{\xi}) \cdot \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0},$其中$g(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{f(x)}.$

它们的几何意义都是：在区域$D$内部有这样的点：该点处的切平面与区域$D$的边界所在的平面平行。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.