Riesz 表示定理

Riesz 表示定理是线性泛函，尤其是 Hilbert 空间理论中一个很重要的定理，它在偏微分方程的弱解理论等领域有很多应用。它表明 Hilbert 空间中的一个连续线性泛函可以表示为共轭对称的双线性函数。在有限维情形，这一事实就是线性变换的 Gram 矩阵表示。

内容

假设$f$是 Hilbert 空间$X$上的一个连续线性泛函，那么一定存在一个唯一的$y_f \in X$使得 $$f(x) = (x, y_f), \forall x \in X.$$ 进一步，算子范数$\| f \| = \| y_f \|.$

反过来是平凡的：对任意固定的$y \in X$，映射$x \mapsto (x, y)$总是连续的（内积的连续性），因此它就在$X^*$中，这表明$f \mapsto y_f$是一个等距同构，但要注意表示定理中的同构是和空间中的范数/内积紧密相关的，我们可以在多数情况下将$X$和$X^*$看成一个空间，但是在某些细致的问题中这种看法并不总是适用的（参见/谬误）。

证明

我们不妨假设$f$不是零泛函，否则结论自然成立。先证明存在性，由赋范线性空间的线性核理论，在赋范线性空间中假设$f$是$X$到$\mathbb{K}$的非零连续线性泛函，那么存在$x_0 \in X, f(x_0) \ne 0$（在一个伸缩的意义下不妨假设$\| x_0 \| = 1$），那么 $$X = \ker f \oplus \text{span} \{ x_0 \}.$$ 假设 $$x = y + \alpha x_0, \forall x \in X, \exists ! y \in \ker f, \alpha \in \mathbb{K}.$$ 在 Hilbert 空间$X$中， $$\forall x \in X, (x, x_0) = \alpha (x_0, x_0) + (y, x_0) = \alpha (x_0, x_0).$$ 因此 $$f(x)=(x,x_{0})f(x_{0})=\left(x,{\overline {f(x_{0})}}x_{0}\right).$$ 这里$y_{f}:={\overline {f(x_{0})}}x_{0},\|y_{f}\|=|f(x_{0})|.$

下证明唯一性，实际上如果有两个$y_1, y_2 \in X$都满足$f(x) = (x, y_1) = (x, y_2).$那么做差$(x, y_1 - y_2) = 0, \forall x \in X.$因此$y_1 = y_2.$

最后来证明$\|f\|=\|y_{f}\|$，一方面$\|f\|=\sup _{\|x\|=1}|f(x)|\geqslant |f(x_{0})|=\|y_{f}\|$；另一方面由表示定理的第一部分结论就得到$|f(x)|\leqslant \|x\|\|y_{f}\|$意即$\|f\|\leqslant \|y_{f}\|.$

推广

Lp 空间

在$L^p$空间$L^p(U)$（$1 \leqslant p < +\infty$）中，这个表示定理表现为：

假设$L$是$L^p(U)$中的一个线性泛函，那么存在一个$v \in L^q(U), \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$使得对任意的$u \in L^p(U)$均有 $$L(u) = L_v(u) = \int_U u(x) v(x) \mathrm{d}x.$$ 且泛函的范数$\| L \| = \| v \|_{L^q(U)}.$这表明$L^p(U)$的对偶空间是$L^q(U)$，注意$p \ne + \infty.$ 可以推广到测度空间中去。

连续函数空间

假设$X$是局部紧的 Hausdorff 空间，$I$是$C_c(X)$（具有紧支集的连续函数空间）上的正线性泛函（即对任意$f \in C_c(X), f \geqslant 0$都有$I(f) \geqslant 0$），那么存在一个唯一的（正）Radon 测度$\mu$使得 $$I(f) = \int_X f \mathrm{d}\mu, \quad \forall f \in C_c(X).$$ 满足

1. 对任意的开集$U \subset X$都有$$\mu(U) = \sup \{ I(f): f \in C_c(X), f \in [0, 1], \text{supp } f \subset U \}.$$
2. 对任意的紧集$K \subset X$都有$$\mu(K) = \inf \{ I(f): f \in C_c(X), f \geqslant \chi_K \}.$$

借助 Radon 测度，我们对正线性泛函做出了刻画，至于一般的线性泛函，考虑到如下 Jordan 分解：

假设实线性泛函$I \in C_0(X)^*$，那么存在正线性泛函$I^+, I^- \in C_0(X)^*$满足$I = I^+ - I^-$，实际上这里$I^+(f) := \sup \{ I(g): g \in C_0(X), 0 \leqslant g \leqslant f \}.$

对于复线性泛函，则可以考虑它的实部和虚部。这样，Riesz 表示定理就会变为：

1. 假设$X$是局部紧的可分的度量空间，对于$X$上的实 Radon 测度，以及任意的$f\in C_{c}(X,\mathbb {R} )$，令$I_\mu = \int_X f \mathrm{d}\mu$，那么映射$\mu \mapsto I_\mu$是一个从所有实 Radon 测度形成的 Banach 空间到$C_{c}(X,\mathbb {R} )^{*}$的保距同构。
2. 假设$X$是局部紧的 Hausdorff 空间，对于$X$上的复 Radon 测度，以及任意的$f\in C_{0}(X,\mathbb {C} )$，令$I_\mu = \int_X f \mathrm{d}\mu$，那么映射$\mu \mapsto I_\mu$是一个从所有复 Radon 测度形成的 Banach 空间到$C_{0}(X,\mathbb {C} )^{*}$的保距同构。
3. 假设$X$是局部紧的可分的度量空间，对于$X$上的有限实 Radon 测度，以及任意的$f\in C_{0}(X,\mathbb {R} )$，令$I_\mu = \int_X f \mathrm{d}\mu$，那么映射$\mu \mapsto I_\mu$是一个从所有有限实 Radon 测度形成的 Banach 空间到$C_{0}(X,\mathbb {R} )^{*}$的保距同构。

如果$X$是第二可数的空间，那么复 Borel 测度是 Radon 的，因此复 Radon 测度和复 Borel 测度等价，这时上述表示定理可将复 Radon 测度换为复 Borel 测度。另外注意：我们定义复 Radon 测度时都要求它是有限测度，因此上面的定理第二条中不必指出复 Radon 测度的有界性。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
2. Gerald B. Folland, Real Analysis(2nd Ed.), Wiley, 1999-04, ISBN 978-0-4713-1716-6.