Riesz 引理

Riesz 引理是賦范線性空間的一個定理，它刻畫了有限維賦范線性空間和無窮維賦范線性空間的不同之處。這個引理在緊算子的研究中發揮着重要作用（因為對於一個 Banach 空間上的緊算子而言，它和恆同算子的差的核空間是有限維的）。

關於實變函數論中可測函數列依測度收斂的 Riesz 定理參見可測函數列。

內容

如果$X_0$是賦范線性空間$X$的一個真閉子空間，那麼$\forall \varepsilon \in (0, 1), \exists y \in X$使得$\Vert y \Vert = 1$且$$\Vert y - x \Vert \geqslant 1 - \varepsilon, \quad \forall x \in X_0.$$

證明

取$y_0 \in X - X_0$，由$X_0$的閉性可得下確界存在 $$d := \inf_{x \in X_0} \Vert y_0 - x \Vert > 0.$$ 由確界定義$\forall \eta > 0, \exists x_0 \in X_0$使得 $$d < \Vert y_0 - x_0 \Vert < d + \eta.$$ 令$y = \dfrac{ y_0 - x_0 }{\Vert y_0 - x_0 \Vert}$則顯然有$\Vert y \Vert y = 1$且 $$\begin{align} \Vert y-x \Vert & = \left\Vert \dfrac{ y_0 - x_0 }{\Vert y_0 - x_0 \Vert} - x \right\Vert \\ & = \dfrac{\big\Vert y_0 - x_0 - x \Vert x_0 - y_0 \Vert \big\Vert}{\Vert y_0 - x_0 \Vert} \\ & > \dfrac{d}{d+\eta} = 1 - \dfrac{\eta}{d+\eta}. \end{align}$$ 因此僅需取$\eta = \dfrac{d\varepsilon}{1-\varepsilon}$即可證明結論。

有限維空間的刻畫

一個賦范線性空間$X$是有限維的，當且僅當其中的任意有界閉集是自列緊集/緊集，當且僅當其中的閉單位球是緊集。

1. 假設$X$是有限維的，那麼$X$代數上同構拓撲上同胚於 Euclid 空間$\R^n$，因此根據 $\R^n$的完備性可得任意有界閉集是緊集。
2. 假設$X$是無窮維的，那麼存在一有限維子空間序列$\{ E_n \}_{n=1}^\infty$使得$E_{n-1} \subset E_n$，那麼對每個$E_n~(n > 1)$而言，由 Riesz 引理取$x_n \in E_n \setminus E_{n-1}$滿足
   1. $\text{dist}(x_n, E_{n-1}) > 1/2$；
   2. $\| x_n \| = 1$。

   那麼$\{ x_n \}_{n=2}^\infty$滿足$\| x_n - x_m \| \geqslant 1/2$但是$x_n$在一個有界閉集$B_X(0, 1)$上，這樣$B_X(0, 1)$就不會是列緊集（$\{ x_n \}$不是 Cauchy 列）。

參考資料

1. 張恭慶, 林源渠, 《泛函分析講義（上冊）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.