Riesz 引理是赋范线性空间的一个定理,它刻画了有限维赋范线性空间和无穷维赋范线性空间的不同之处。这个引理在紧算子的研究中发挥着重要作用(因为对于一个 Banach 空间上的紧算子而言,它和恒同算子的差的核空间是有限维的)。
关于实变函数论中可测函数列依测度收敛的 Riesz 定理参见可测函数列。
内容[]
如果
是赋范线性空间
的一个真闭子空间,那么
使得
且

证明[]
取
,由
的闭性可得下确界存在

由
确界定义

使得

令

则显然有

且

因此仅需取

即可证明结论。
有限维空间的刻画[]
一个赋范线性空间
是有限维的,当且仅当其中的任意有界闭集是自列紧集/紧集,当且仅当其中的闭单位球是紧集。
- 假设
是有限维的,那么
代数上同构拓扑上同胚于 Euclid 空间
,因此根据
的完备性可得任意有界闭集是紧集。
- 假设
是无穷维的,那么存在一有限维子空间序列
使得
,那么对每个
而言,由 Riesz 引理取
满足
;
。
那么
满足
但是
在一个有界闭集
上,这样
就不会是列紧集(
不是 Cauchy 列)。
参考资料