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Riesz 引理赋范线性空间的一个定理,它刻画了有限维赋范线性空间和无穷维赋范线性空间的不同之处。这个引理在紧算子的研究中发挥着重要作用(因为对于一个 Banach 空间上的紧算子而言,它和恒同算子的差的核空间是有限维的)。

关于实变函数论中可测函数列依测度收敛的 Riesz 定理参见可测函数列

内容[]

如果是赋范线性空间的一个真闭子空间,那么使得

证明[]

,由的闭性可得下确界存在

确界定义使得
则显然有
因此仅需取即可证明结论。

有限维空间的刻画[]

一个赋范线性空间是有限维的,当且仅当其中的任意有界闭集是自列紧集/紧集,当且仅当其中的闭单位球是紧集。

  1. 假设是有限维的,那么代数上同构拓扑上同胚于 Euclid 空间,因此根据 的完备性可得任意有界闭集是紧集。
  2. 假设是无穷维的,那么存在一有限维子空间序列使得,那么对每个而言,由 Riesz 引理满足

    那么满足但是在一个有界闭集上,这样就不会是列紧集(不是 Cauchy 列)。

参考资料

  1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义(上册)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
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