Riesz 定理

在实变函数和测度论中，Riesz 定理（里斯定理）是关于可测函数列依测度收敛的一个定理。关于赋范线性空间中的 Riesz 引理参见 Riesz 引理，积分表示为线性泛函的表示定理参见 Riesz 表示定理。

依测度收敛

假设有测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$，设$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$是$E \in \mathcal{F}$上几乎处处有限的可测函数，若存在函数$f(x)$，对任意的$\varepsilon > 0$有 $$\lim_{k \to \infty} \mu(\{ x \in E: |f_k (x) - f(x)| > \varepsilon \}) = 0$$ 我们就说$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$在$E$上依测度收敛（converge in measure）于$f(x).$

定理内容

如果$E$上的可测函数序列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$依测度收敛于$f(x)$，那么它存在一个子列$\{ f_{k_i} (x) \}_{i=0}^\infty$在$E$上几乎处处收敛于$f(x).$

这里我们证明一个更一般的结论：如果$E$上的可测函数序列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$是依测度收敛的 Cauchy 列，那么它存在一个子列$\{ f_{k_i} (x) \}_{i=0}^\infty$在$E$上几乎处处收敛于$f(x).$

这样，上面依测度收敛的情形下的定理可以很容易得到：因为$\{f_{k}(x)\}$是依测度收敛的，进而是依测度的 Cauchy 列，进而存在收敛子列收敛到$g(x)$，但是按照条件$\{f_{k}(x)\}$本身收敛到$f(x)$，于是$f(x)$几乎处处等于$g(x).$

证明

对任意自然数$i$我们可以选取出$k_i$使得当$l,j>k_{i}$的时候成立 $$\mu \left(\left\{x\in E:\left|f_{l}(x)-f_{j}(x)\right|>2^{-i}\right\}\right)<2^{-i}$$ 从而我们可以假定$k_{i}<k_{i+1}$，定义集合 $$E_{i}=\left\{x\in E:\left|f_{k_{i}}(x)-f_{k_{i+1}}(x)\right|>2^{-i}\right\}.$$ 于是$\mu (E_{i})<2^{-i}$，对任意$j\in \mathbb {N} ^{+}$成立 $$\mu \left(\bigcup _{i=j}^{\infty }E_{i}\right)\leqslant \sum _{i=j}^{\infty }\mu \left(E_{i}\right)\leqslant \sum _{i=j}^{\infty }2^{-i}=2^{1-j}\quad (*)$$ 于是 $$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leqslant 1<\infty .$$ 进一步我们考察$\{E_{i}\}_{i=1}^{\infty }$的上极限集$S=\bigcap _{j=1}^{\infty }\bigcup _{i=j}^{\infty }E_{i}$得到$\mu (S)=0.$

假设$x\in E\setminus S$，那么存在$j\in \mathbb {N} ^{+}$使得$x\in E\setminus \bigcup _{i=j}^{\infty }E_{i}$，从而当$i\geqslant j$的时候成立 $$|f_{k_{i+1}}(x)-f_{k+i}(x)|<2^{-i}.$$ 于是当$l\geqslant j$的时候成立 $$\sum _{i=l}^{\infty }|f_{k_{i+1}}(x)-f_{k+i}(x)|<2^{1-l}.$$ 于是级数$f_{k_{1}}(x)+\sum _{i=1}^{\infty }|f_{k_{i+1}}(x)-f_{k+i}(x)|$在$E \setminus S$上绝对收敛，因此$\{f_{k_{i}}(x)\}_{i=1}^{\infty }$在$E$上几乎处处收敛到一个几乎处处有限的可测函数$f(x)$。

最后由$(*)$可得$\{f_{k_{i}}(x)\}$是近一致收敛的，由可测函数列#定理3得到结论成立。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.