Riemann 函数

在分析中，Riemann 函数（黎曼函数）是一种十分“怪异”的函数，它和 Dirichlet 函数一样被用作许多伪命题的反例。

定义

定义在区间$[0,1]$上的函数

$$R(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{q}, & x = \dfrac{p}{q}, p, q \in \N^+, (p, q) = 1, \\ 0, & x = 0, 1, \text{or } x \in (0, 1) - \Q. \end{cases}$$

上述定义是说，函数$R(x)$在区间端点以及无理点处取值为零，在有理点处，设$x$有最简分数表示$\dfrac{p}{q}$，$R(x)$取$\dfrac{1}{q}.$

性质

1. 定义域是紧集$[0,1]$，值域是可列集$\left\{ 0, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots \right\}.$
2. 对称轴：$x = \dfrac{1}{2}.$
3. 单调性：无处单调。
4. 连续性：有理点不连续，无理点连续，对任意的$x_0 \in (0, 1)$，$\lim_{x \to x_0} R(x) = 0.$
5. 可微性：处处不可微。
6. 可积性：可积，且$g(x) = \int_0^x R(t) \mathrm{d}t = 0, \forall x \in [0, 1]$。

相关命题

1. 处处有限而又处处局部无界的函数：
   $$g(x) = \begin{cases} q, & x = \dfrac{p}{q}, p, q \in \N, q > 0, (p, q) = 1, \\ 0, & x \notin \Q. \end{cases}$$
2. 定义域为紧集的没有局部极值的有界函数：
   $$g(x) = \begin{cases} (-1)^q \dfrac{q}{q+1}, & x = \dfrac{p}{q}, p, q \in \N, q > 0, (p, q) = 1, \\ 0, & x \in (0, 1) - \Q. \end{cases}$$
   这也是一个处处都不半连续的函数。
3. 可积函数$R(x)$，使得它的一个原函数$g(x) = \int_0^x R(t) \mathrm{d}t = 0, \forall x \in [0, 1]$处处可微，但在一个稠密集（这里指有理点集）上$g'(x) \ne R(x).$

Haray

Haray 构造的如下函数

$$h(x) = \begin{cases} \sqrt{\dfrac{1+p^2}{1+q^2}}, & x = \dfrac{p}{q}, p, q \in \N, (p, q) = 1, \\ 0, & x \notin \Q. \end{cases}$$

在正无理数集上连续而在其补集上处处不连续。

Bhakta

下述定义在$[0,1]$上的函数

$$f_\alpha (x) = \begin{cases} \dfrac{1}{q^\alpha}, & x = \dfrac{p}{q}, p, q \in \N, (p, q) = 1, \\ 0, & x = 0, \text{or } x \notin \Q. \end{cases}$$

在$[0,1]$的非零有理点处都间断，在其它点处连续，且

1. 当$0 < \alpha < 1$时在$[0,1]$上处处不可微；
2. 当$1 < \alpha \leqslant 2$时在$x = 0$处可微；
3. 当$\alpha > 2$时在$[0,1]$上几乎处处可微。