在數學中, Riemann 假說是一個猜想, 即 Riemann ζ 函数 僅在負偶數和複數上有零點, 其實數部份是 1/2. 許多人考慮其為純粹數學中最重要的未解决问题. 因為其蘊涵關於素數分布的結果, 該假說在數論中極受關注. 該假說由 Bernhard Riemann (1859 年) 命題, 並以其姓氏命名.
Riemann ζ 函数在臨界線 Re(s) = 1/2 上的實數部份 (紅色) 與虛數部份 (藍色). 第一個非平凡零點可以在 Im(s) = ±14.135, ±21.022 和 ±25.011 看到.
動畫以 3D 顯示 Riemann ζ 函数的臨界帶 (藍色)､ 臨界線 (紅色) 和零點 (紅色和橙色之間的交叉部分): [x,y,z] = [Re(ζ(r + it), Im(ζ(r + it), t], 其中 0.1 ≤ r ≤ 0.9 且 1 ≤ t ≤ 51
Riemann ζ 函数沿臨界線 Re(s) = 1/2 (實數值位於水平軸, 虛數值位於垂直軸): Re(ζ(1/2 + it), Im(ζ(1/2 + it), 其中 t 的範圍是 −30 到 30
Riemann 假說及其部份廣義化概念, 同哥德巴赫猜想和孿生質數猜想一起, 構成大衛·希爾伯特的 23 個未解決問題清單中的希爾伯特第八問題; 它也是克雷数学研究所的千禧年大獎難題之一, 任何人解決其中的任何問題將獲得百萬美元的獎金. 其名稱也用於一些與其密切相關的模擬, 例如 "對於有限體上曲線的黎曼假說".
Riemann ζ 函数 ζ(s) 的引數 s 可以是 1 以外的任何複數, 其值亦是複數. 它在負偶數上有零點; 即, 當 s 為 −2, −4, −6, ... 的其中一個數時, ζ(s) = 0. 這些被稱為它的平凡零點. ζ 函数對於 s 的其他值也有零點, 稱為非平凡零點. Riemann 假說關心的是這些非平凡零點的位置, 並提出:
所有 Riemann ζ 函数非平凡零點的實數部分都是 1/2.
因此, 如果假說正確, 則所有的非平凡零點都位於由複數 1/2 + i t (t 是實數, i 是虛數單位) 組成的臨界線上.
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