Riemann ζ 函數

Riemann ζ 函數是數學中非常重要的特殊函數。

定義

Riemann ζ 函數的一種級數定義為 $$\zeta(z) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^z}.$$ 上述級數收斂的條件是$\text{Re} z = \sigma > 1.$可以將該函數推廣為 $$\zeta(z, a) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{(n+a)^z}.$$ 其中$a$是不為負整數的常數，通常情況下假設$a \in (0, 1].$

有關係 $$\Gamma(z) \zeta(z, a) = \int_0^\infty \dfrac{\text{e}^{-at} t^{z-1}}{1 - \text{e}^{-t}} \mathrm{d}t.$$

迴路積分

可以證明： $$\zeta (z,a)=-{\dfrac {\Gamma (1-z)}{2\pi {\text{i}}}}\int _{C}{\dfrac {{\text{e}}^{-at}(-t)^{z-1}}{1-{\text{e}}^{-t}}}\mathrm {d} t.$$ 這裡積分迴路$C$是從靠近正實軸上方的無窮遠處出發，經過原點左側向下，再回到靠近正實軸下方的無窮遠處，且其內部不含有被積函數分母為零的點$t = 2n\pi\text{i}, n \in \N^+.$

由該運算式可知$\xi(z, a)$的奇點只能是$\Gamma(1-z)$的奇點，因為等式右端的迴路積分是一個關於$z$的單值解析函數，由於已知$\zeta(z,a)$在$\text{Re} z > 1$的半平面上沒有奇點，故該函數唯一的奇點就是$z=1$且它為一階極點，留數為1.

z為整數時函數值

在這一小節中假設$z$是整數，由於#A1的右端積分的值和其被積函數在原點的留數有關，因此可得 $$\zeta(-n, a) = -\dfrac{B_{n+1}(a)}{n+1}.$$ 其中$B_{n+1}(x)$為 Bernoulli 多項式。

特別地，當$a = 1$時， $$\zeta(-n) = -\dfrac{B_{n+1}}{n+1}.$$ 於是$\zeta(0) = -\dfrac{1}{2}, \zeta(-2m) = 0, \zeta(1-2m) = \dfrac{B_{2m}}{2m}.$進而得出 $$\zeta(2m) = (-1)^{m-1} \dfrac{B_{2m}}{2} \cdot \dfrac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!}.$$ 在其它點處的計算則一般沒有解析運算式，可以使用數值方法求得，一般有如下計算公式 $$\zeta(s) = \sum_{r=1}^m \dfrac{1}{r^s} + \dfrac{1}{(s-1)m^{s-1}} - \dfrac{1}{2m^s} -\sum_{k=1}^m \dfrac{B_{2k} (s)_{2k-1}}{(2k!) m^{s+2k-1}} - (s)_{2n} \int_0^\infty \dfrac{P_{2n} (t) \mathrm{d}t}{(t+m)^{s+2n}}.$$ 這裡$(s)_k = \dfrac{\Gamma(s+k)}{\Gamma(s)}$，$P_\lambda(t)$為周期為1的函數，且當$t \in [0,1)$時$P_\lambda(t) = \dfrac{B_\lambda(t)}{\lambda!}.$

Euler 恆等式

初等數論和分析聯繫起來的絕妙公式是 Riemann ζ 函數聯繫起來的，當$\text{Re} s > 1$時有 $$\dfrac{1}{\zeta(s)} = \prod_p \left( 1 - \dfrac{1}{p^s} \right).$$ 由此得出很多數論函數的無窮乘積公式，詳見 Euler 恆等式。

黎曼假說

經前面的介紹可知，$\zeta(s)$在$\text{Re} s > 1$處沒有零點，而負偶數$s = -2m$是其零點，同時又由 Euler 恆等式可知$\text{Re} s < 0$時除了負偶數之外沒有其他零點，那麼其他可能的零點只能位於$0 \leqslant \text{Re} s \leqslant 1$中，Riemann 曾猜想此區域中的零點全在$\text{Re} s = \dfrac{1}{2}$線上，但至今沒有被證明。

參考資料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函數概論》, 北京大學出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.