Riemann ζ 函数

Riemann ζ 函数是数学中非常重要的特殊函数。

定义

Riemann ζ 函数的一种级数定义为

$$\zeta(z) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^z}.$$

上述级数收敛的条件是$\text{Re} z = \sigma > 1.$可以将该函数推广为

$$\zeta(z, a) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{(n+a)^z}.$$

其中$a$是不为负整数的常数，通常情况下假设$a \in (0, 1].$

有关系

$$\Gamma(z) \zeta(z, a) = \int_0^\infty \dfrac{\text{e}^{-at} t^{z-1}}{1 - \text{e}^{-t}} \mathrm{d}t.$$

回路积分

可以证明：

$$\zeta (z,a)=-{\dfrac {\Gamma (1-z)}{2\pi {\text{i}}}}\int _{C}{\dfrac {{\text{e}}^{-at}(-t)^{z-1}}{1-{\text{e}}^{-t}}}\mathrm {d} t.$$

这里积分回路$C$是从靠近正实轴上方的无穷远处出发，经过原点左侧向下，再回到靠近正实轴下方的无穷远处，且其内部不含有被积函数分母为零的点$t = 2n\pi\text{i}, n \in \N^+.$

由该表达式可知$\xi(z, a)$的奇点只能是$\Gamma(1-z)$的奇点，因为等式右端的回路积分是一个关于$z$的单值解析函数，由于已知$\zeta(z,a)$在$\text{Re} z > 1$的半平面上没有奇点，故该函数唯一的奇点就是$z=1$且它为一阶极点，留数为1.

z为整数时函数值

在这一小节中假设$z$是整数，由于#A1的右端积分的值和其被积函数在原点的留数有关，因此可得

$$\zeta(-n, a) = -\dfrac{B_{n+1}(a)}{n+1}.$$

其中$B_{n+1}(x)$为 Bernoulli 多项式。

特别地，当$a = 1$时，

$$\zeta(-n) = -\dfrac{B_{n+1}}{n+1}.$$

于是$\zeta(0) = -\dfrac{1}{2}, \zeta(-2m) = 0, \zeta(1-2m) = \dfrac{B_{2m}}{2m}.$进而得出

$$\zeta(2m) = (-1)^{m-1} \dfrac{B_{2m}}{2} \cdot \dfrac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!}.$$

在其它点处的计算则一般没有解析表达式，可以使用数值方法求得，一般有如下计算公式

$$\zeta(s) = \sum_{r=1}^m \dfrac{1}{r^s} + \dfrac{1}{(s-1)m^{s-1}} - \dfrac{1}{2m^s} -\sum_{k=1}^m \dfrac{B_{2k} (s)_{2k-1}}{(2k!) m^{s+2k-1}} - (s)_{2n} \int_0^\infty \dfrac{P_{2n} (t) \mathrm{d}t}{(t+m)^{s+2n}}.$$

这里$(s)_k = \dfrac{\Gamma(s+k)}{\Gamma(s)}$，$P_\lambda(t)$为周期为1的函数，且当$t \in [0,1)$时$P_\lambda(t) = \dfrac{B_\lambda(t)}{\lambda!}.$

Euler 恒等式

初等数论和分析联系起来的绝妙公式是 Riemann ζ 函数联系起来的，当$\text{Re} s > 1$时有

$$\dfrac{1}{\zeta(s)} = \prod_p \left( 1 - \dfrac{1}{p^s} \right).$$

由此得出很多数论函数的无穷乘积公式，详见 Euler 恒等式。

黎曼假说

经前面的介绍可知，$\zeta(s)$在$\text{Re} s > 1$处没有零点，而负偶数$s = -2m$是其零点，同时又由 Euler 恒等式可知$\text{Re} s < 0$时除了负偶数之外没有其他零点，那么其他可能的零点只能位于$0 \leqslant \text{Re} s \leqslant 1$中，Riemann 曾猜想此区域中的零点全在$\text{Re} s = \dfrac{1}{2}$线上，但至今没有被证明。

参考资料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.