Rayleigh 分布（瑞利分布）是概率论中的一种概率分布，在通信网络中有重要应用。
设有非负连续型随机变量 X {\displaystyle X} ，它的概率密度函数是 f ( x ) = x σ 2 e − x 2 2 σ 2 , x ⩾ 0 {\displaystyle f(x) = \dfrac{x}{\sigma^2} \text{e}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, \qquad x \geqslant 0} 其中，常数 σ > 0 {\displaystyle \sigma>0} 我们就说随机变量 X {\displaystyle X} 服从参数为 σ {\displaystyle \sigma} 的 Rayleigh 分布，在此分布中常用的变量代换是 t = x 2 2 σ 2 {\displaystyle t = \dfrac{x^2}{2\sigma^2}} ，显然该分布的规范性 ∫ 0 + ∞ x σ 2 e − x 2 2 σ 2 d x = ∫ 0 + ∞ 2 t σ e − t σ 2 t d t = ∫ 0 + ∞ e − t d t = 1. {\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{x}{\sigma^2} \text{e}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \mathrm{d}x = \int_0^{+\infty} \dfrac{\sqrt{2t}}{\sigma} \text{e}^{-t} \dfrac{\sigma}{\sqrt{2t}} \mathrm{d}t = \int_0^{+\infty} \text{e}^{-t} \mathrm{d}t = 1.}
Rayleigh 分布的数学期望为 π 2 σ {\displaystyle \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\sigma} ，方差为 ( 2 − π 2 ) σ 2 {\displaystyle \left( 2-\dfrac{\pi}{2} \right) \sigma^2} 。证明如下 E ( X ) = ∫ 0 + ∞ x 2 σ 2 e − x 2 2 σ 2 d x = ∫ 0 + ∞ 2 t e − t σ 2 t d t = 2 σ ∫ 0 + ∞ t 1 2 e − t d t = 2 σ Γ ( 3 2 ) = π 2 σ . D ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 = ∫ 0 + ∞ x 3 σ 2 e − x 2 2 σ 2 d x − π 2 σ 2 = ∫ 0 + ∞ σ ( 2 t ) 3 2 e − t σ 2 t d t − π 2 σ 2 = 2 σ 2 ∫ 0 + ∞ t e − t d t − π 2 σ 2 = 2 σ 2 Γ ( 2 ) − π 2 σ 2 = ( 2 − π 2 ) σ 2 . {\displaystyle \begin{align} E(X) & = \int_0^{+\infty} \dfrac{x^2}{\sigma^2} \text{e}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \mathrm{d}x = \int_0^{+\infty} 2t \text{e}^{-t} \dfrac{\sigma}{\sqrt{2t}} \mathrm{d}t \\ & = \sqrt{2}\sigma \int_0^{+\infty} t^{\frac{1}{2}}\text{e}^{-t} \mathrm{d}t = \sqrt{2}\sigma \Gamma(\dfrac{3}{2}) \\ & = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\sigma. \\ D(X) & = E(X^2) - (E(X))^2 = \int_0^{+\infty} \dfrac{x^3}{\sigma^2} \text{e}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \mathrm{d}x - \dfrac{\pi}{2}\sigma^2 \\ & = \int_0^{+\infty} \sigma (2t)^\frac{3}{2} \text{e}^{-t} \dfrac{\sigma}{\sqrt{2t}} \mathrm{d}t - \dfrac{\pi}{2}\sigma^2 \\ & = 2\sigma^2 \int_0^{+\infty} t \text{e}^{-t} \mathrm{d}t - \dfrac{\pi}{2}\sigma^2 \\ & = 2\sigma^2 \Gamma(2) - \dfrac{\pi}{2}\sigma^2 = \left( 2-\dfrac{\pi}{2} \right) \sigma^2. \end{align}}
该分布可以由下述情形导出：设随机变量 X , Y {\displaystyle X, Y} 相互独立，且 X , Y {\displaystyle X, Y} 服从正态分布 X ∼ N ( 0 , σ 2 ) , Y ∼ N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyle X \sim N(0, \sigma^2), Y \sim N(0, \sigma^2)} ，那么随机变量 Z = X 2 + Y 2 {\displaystyle Z = \sqrt{X^2 + Y^2}} 就服从参数为 σ {\displaystyle \sigma} 的 Rayleigh 分布。
978-7-0402-8890-2
，它的概率密度函数是
其中，常数
我们就说随机变量服从参数为
的 Rayleigh 分布，在此分布中常用的变量代换是
，显然该分布的规范性
，方差为
。证明如下
相互独立，且服从正态分布
，那么随机变量
就服从参数为的 Rayleigh 分布。
