Radon 测度

在测度论和泛函分析中，Radon 测度（拉东测度）是一类特殊的 Borel 测度，它给了拓扑可测空间中连续线性泛函的积分表示关系（Riesz 表示定理），是 Lebesgue 积分的线性泛函表示的推广化。

定义

正测度

假设有局部紧的 Hausdorff 空间$X$，$(X, \mathcal{B})$是拓扑可测空间（$\mathcal{B}$是由开集全体$\mathcal{O}$生成的 σ-代数），$\mu$是这个可测空间上的一个（正）Radon 测度，如果它满足：

1. 紧集上有限：对任意紧集$K \subset X, \mu(K) < +\infty.$
2. Borel 集上外正则：对任意 Borel 集$E \subset X$，都有$\mu(E) = \inf \{ \mu(U): U \supset E, U \in \mathcal{O} \}.$
3. 开集上内正则：对任意开集$U \subset X$，都有$\mu(U) = \sup \{ \mu(V): V \subset U, V \text{ is compact set} \}.$

有的资料称 Radon 测度为“正则测度”，我们将正则测度的名字留给一个更一般的情况，详见正则测度。Radon 测度的一个例子是$\R^n$上的 Lebesgue 测度，更一般地，$\R^n$上满足任意紧集上有限的 Borel 正则测度$\nu$就是 Radon 测度。 我们对 Radon 测度的定义是比较抽象的，实际上，它的条件很容易满足，例如在$\R^n$中，如果$\mu$是其中的一个 Borel 正则测度，$A$是$\mu$可测的且$\mu(A) < +\infty$，那么$\mu|_A$就是一个 Radon 测度。

符号测度和复测度

局部紧的 Hausdorff 空间$X$上的

1. 符号 Radon 测度$\mu$定义为：它的正部和负部都是正 Radon 测度的符号 Borel 测度。
2. 实 Radon 测度定义为在任意$X$的紧集$K$上都是有限符号测度的定义在$X$中的相对紧的 Borel 集合上的集函数。
   • 有限实 Radon 测度定义为在$X$上有限的实 Radon 测度。因此可以说实 Radon 测度是“局部”有限实 Radon 测度。
3. 复 Radon 测度定义为实部和虚部都是符号 Radon 测度的复 Borel 测度。

$X$上全体有限实（或复）Radon 测度是线性空间且可以规定范数

$$\| \mu \| := |\mu|(X).$$

这里$|\mu|$是$\mu$的全变差。注意在我们的定义中，复 Radon 测度都是有限测度，因此一些正 Radon 测度可能都不是复 Radon 测度或有限实 Radon 测度，例如 Lebesgue 测度（它是符号 Radon 测度以及实 Radon 测度）。

如果$X$是第二可数空间，那么每一个紧集有限的复 Borel 测度都是正则的 Radon 测度。

当然也可以定义向量值的 Radon 测度，参见向量值测度，如果是$\R^m$值的向量 Radon 测度，它的定义和定义每个分量为符号 Radon 测度等价。

Riesz 表示定理

假设$X$是局部紧的 Hausdorff 空间，$I$是$C_c(X)$（具有紧支集的连续函数空间）上的正线性泛函（即对任意$f \in C_c(X), f \geqslant 0$都有$I(f) \geqslant 0$），那么存在一个唯一的（正）Radon 测度$\mu$使得

$$I(f) = \int_X f \mathrm{d}\mu, \quad \forall f \in C_c(X).$$

满足

1. 对任意的开集$U \subset X$都有
   $$\mu(U) = \sup \{ I(f): f \in C_c(X), f \in [0, 1], \text{supp } f \subset U \}.$$
2. 对任意的紧集$K \subset X$都有
   $$\mu(K) = \inf \{ I(f): f \in C_c(X), f \geqslant \chi_K \}.$$

借助 Radon 测度，我们对正线性泛函做出了刻画，至于一般的线性泛函，考虑到如下 Jordan 分解：

假设实线性泛函$I \in C_0(X)^*$，那么存在正线性泛函$I^+, I^- \in C_0(X)^*$满足$I = I^+ - I^-$，实际上这里$I^+(f) := \sup \{ I(g): g \in C_0(X), 0 \leqslant g \leqslant f \}.$

对于复线性泛函，则可以考虑它的实部和虚部。这样，Riesz 表示定理就会变为：

1. 假设$X$是局部紧的可分的度量空间，对于$X$上的实 Radon 测度，以及任意的$f\in C_{c}(X,\mathbb {R} )$，令$I_\mu = \int_X f \mathrm{d}\mu$，那么映射$\mu \mapsto I_\mu$是一个从所有实 Radon 测度形成的 Banach 空间到$C_{c}(X,\mathbb {R} )^{*}$的保距同构。
2. 假设$X$是局部紧的 Hausdorff 空间，对于$X$上的复 Radon 测度，以及任意的$f\in C_{0}(X,\mathbb {C} )$，令$I_\mu = \int_X f \mathrm{d}\mu$，那么映射$\mu \mapsto I_\mu$是一个从所有复 Radon 测度形成的 Banach 空间到$C_{0}(X,\mathbb {C} )^{*}$的保距同构。
3. 假设$X$是局部紧的可分的度量空间，对于$X$上的有限实 Radon 测度，以及任意的$f\in C_{0}(X,\mathbb {R} )$，令$I_\mu = \int_X f \mathrm{d}\mu$，那么映射$\mu \mapsto I_\mu$是一个从所有有限实 Radon 测度形成的 Banach 空间到$C_{0}(X,\mathbb {R} )^{*}$的保距同构。

如果$X$是第二可数的空间，那么复 Borel 测度是 Radon 的，因此复 Radon 测度和复 Borel 测度等价，这时上述表示定理可将复 Radon 测度换为复 Borel 测度。另外注意：我们定义复 Radon 测度时都要求它是有限测度，因此上面的定理第二条中不必指出复 Radon 测度的有界性。

其它性质

假设$\mu$是拓扑可测空间$X$上的 Radon 测度，$E$是$X$中的 Borel 集，那么

1. $\mu$对所有的 σ 有限集是内正则的，由此可知如果$\mu$是 σ 有限的，那么它是正则测度（对所有 Borel 集同时是外正则和内正则）。
2. 假设$\mu$是 σ 有限的，$A \in \mathcal{B}_X$，那么$\mu_A: \mu_A(E) = \mu(A \cap E)$是 Radon 测度。
3. 假设$\mu$是 σ 有限的，那么
   1. $\forall \varepsilon>0$存在开集$U$和紧集$V$使得$V \subset E \subset U$满足$\mu(U \setminus V) < \varepsilon.$
   2. 存在$F_\sigma$集$A$和$G_\delta$集$B$使得$A \subset E \subset B$满足$\mu(B \setminus A) = 0.$
4. $C_c(X)$在$L^p(X, \mu)$中稠密，这里$1 \leqslant p < +\infty.$
5. 假设$\phi$是$X$上的严格正连续函数，那么定义集函数$\nu: A \mapsto \int_A \phi \mathrm{d}\mu$是 Radon 测度且$f \in C_c(X) \mapsto \int_X f \phi \mathrm{d}\mu$是和它相关的线性泛函。
6. 对$X$上的 Radon 测度序列$\{ \mu_k \}$，如果存在$X$上的有限 Radon 测度$\mu$使得$\mu (X)=\lim _{k\to \infty }\mu _{k}(X)$以及对任意开集$U \subset X$满足$\mu (U)\leqslant \liminf _{k\to \infty }\mu _{k}(U)$，那么对任意有界连续函数$f\in C(X,\mathbb {R} )$成立$\lim _{k\to \infty }\int _{X}f\mathrm {d} \mu _{k}=\int _{X}f\mathrm {d} \mu .$

支集

假设$\mu$是拓扑可测空间$X$上的 Radon 测度，$N$是所有$X$中零测开集的并集，那么$N$是开集且$\mu(N) = 0.$我们称$X \setminus N$为$\mu$的支集（support），记作$\operatorname{supp} \mu.$

等价描述：

$$\operatorname{supp} \mu = \left\{ x \in X: \forall f \in C_c(X, [0, 1]) \text{ s.t. } f(x) > 0, \int_X f \mathrm{d}\mu > 0 \right\}.$$

半连续函数

半连续性描述了拓扑空间中的开集与闭集的特征函数，因此可以作为代替拓扑空间中集合的开闭性的分析工具，尤其是在拓扑可测空间（局部紧的 Hausdorff 空间）中，如果给定了其上的一个 Radon 测度$\mu$，那么

1. $f: X \to \R$是非负下半连续的可以得到
   $$\int_X f \mathrm{d}\mu = \sup \left\{ \int_X g \mathrm{d}\mu:g \in C_c(X), 0 \leqslant g \leqslant f \right\}$$
2. $f: X \to \R$是非负的 Borel 可测函数可以得到
   $$\int_X f \mathrm{d}\mu = \inf \left\{ \int_X g \mathrm{d}\mu:g \geqslant f, g \text{ is lower semicontinuous.} \right\}$$

假设$\mu$是$X$上的 Radon 测度，$f \in L^1(X, \mu)$是实值函数，那么对任意$\varepsilon > 0$存在一个下半连续函数$g$和一个上半连续函数$h$使得

1. $h \leqslant f \leqslant g.$
2. $\int_X (g-h) \mathrm{d}\mu < \varepsilon.$

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.
2. Gerald B. Folland, Real Analysis(2nd Ed.), Wiley, 1999-04, ISBN 978-0-4713-1716-6.