Radon-Nikodym 定理 测度论中的最核心结果，它是 Lebesgue 测度 下微积分基本定理 的推广，对一个符号测度 ，我们希望定义它们在某种意义下的导数，这个定义的源泉始于如果一个不定积分视作某个函数的原函数，那么这个函数就可以看作原来不定积分的导数。
R-N 导数 [ ] 假设
φ
{\displaystyle \varphi}
测度空间
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
符号测度 ，如果存在几乎处处 意义下唯一的可测函数
f
{\displaystyle f}
φ
(
A
)
=
∫
A
f
d
μ
,
∀
A
∈
F
.
{\displaystyle \varphi(A) = \int_A f \mathrm{d}\mu, \quad \forall A \in \mathcal{F}.}
f
{\displaystyle f}
φ
{\displaystyle \varphi}
μ
{\displaystyle \mu}
Radon-Nikodym 导数 ，简称为 R-N 导数，记作
d
φ
d
μ
=
f
.
{\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\mu} = f.}
绝对连续 [ ] 假设
φ
{\displaystyle \varphi}
测度空间
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
μ
(
A
)
=
0
⟹
φ
(
A
)
=
0.
{\displaystyle \mu(A) = 0 \Longrightarrow \varphi(A) = 0.}
φ
{\displaystyle \varphi}
μ
{\displaystyle \mu}
假设有可测空间
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
φ
,
ψ
{\displaystyle \varphi, \psi}
N
⊂
F
{\displaystyle N \subset \mathcal{F}}
|
φ
|
(
N
c
)
=
|
ψ
|
(
N
)
=
0
{\displaystyle |\varphi|(N^c) = |\psi|(N) = 0}
φ
{\displaystyle \varphi}
ψ
{\displaystyle \psi}
φ
⊥
ψ
.
{\displaystyle \varphi \perp \psi.}
Radon-Nikodym 定理 [ ] 假设测度空间
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
μ
{\displaystyle \mu}
φ
{\displaystyle \varphi}
μ
{\displaystyle \mu}
φ
{\displaystyle \varphi}
μ
{\displaystyle \mu}
φ
{\displaystyle \varphi}
φ
{\displaystyle \varphi}
μ
{\displaystyle \mu}
d
φ
d
μ
=
d
φ
c
d
μ
{\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\mu} = \dfrac{\mathrm{d}\varphi_c}{\mathrm{d}\mu}}
φ
c
≪
μ
.
{\displaystyle \varphi_c \ll \mu.}
上述定理中
μ
{\displaystyle \mu}
计数测度#绝对连续性 。
定理的后面一句的断言是符号测度的 Lebesgue 分解 ：存在σ有限的符号测度
φ
c
,
φ
s
{\displaystyle \varphi_c, \varphi_s}
φ
=
φ
c
+
φ
s
.
{\displaystyle \varphi = \varphi_c + \varphi_s.}
φ
c
≪
φ
,
φ
s
⊥
φ
.
{\displaystyle \varphi_c \ll \varphi, \varphi_s \perp \varphi.}
R-N 导数的性质 [ ] R-N 导数有类似于通常的导数 那样的性质。
（换元公式）假设
φ
{\displaystyle \varphi}
是测度空间
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
上σ有限的符号测度，且
μ
{\displaystyle \mu}
是测度空间
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
上σ有限的测度，且
φ
≪
μ
{\displaystyle \varphi \ll \mu}
，那么
如果
g
∈
L
1
(
X
,
φ
)
{\displaystyle g \in L^1(X, \varphi)}
g
(
d
φ
d
μ
)
∈
L
1
(
X
,
μ
)
{\displaystyle g\left(\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\mu}\right) \in L^1(X, \mu)}
∫
g
d
φ
=
∫
g
d
φ
d
μ
d
μ
.
{\displaystyle \int g \mathrm{d}\varphi = \int g \dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\mu} \mathrm{d}\mu.}
（链式法则）假设
φ
{\displaystyle \varphi}
是测度空间
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
上σ有限的符号测度，且
μ
,
λ
{\displaystyle \mu, \lambda}
是测度空间
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
上σ有限的测度，且
φ
≪
μ
≪
λ
{\displaystyle \varphi \ll \mu \ll \lambda}
，那么
μ
≪
λ
{\displaystyle \mu \ll \lambda}
且
d
φ
d
λ
=
d
φ
d
μ
d
μ
d
λ
,
λ
-a.e.
{\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\lambda} = \dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\mu} \dfrac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}\lambda}, \quad \lambda\text{-a.e.}}
（反函数的导数）假设
μ
,
λ
{\displaystyle \mu, \lambda}
是测度空间
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
上σ有限的测度，且
λ
≪
μ
≪
λ
{\displaystyle \lambda \ll \mu \ll \lambda}
，那么
d
λ
d
μ
d
μ
d
λ
=
1
,
λ
-a.e. and
μ
-a.e.
{\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}\mu} \dfrac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}\lambda} = 1, \quad \lambda\text{-a.e. and } \mu\text{-a.e.}}
参考资料 Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.) , Studies in Advanced Mathematics Vol.5 , CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3 
