Pythagoras 方程

Pythagoras 方程（毕达哥拉斯方程）也被称为商高方程，是数论上的一个著名方程。

内容

如下二次齐次不等方程

$$x^2 + y^2 = z^2$$

的解$(x, y, z) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$的求解问题，就是解一个商高方程的问题。

当$xyz = 0$时方程有平凡解$(0, \pm a, \pm a), (\pm a, 0, \pm a)$，满足$xyz \ne 0$的解称为非平凡解，我们的目的是找到非平凡解。

实际上，如果$(a, b, c)$是一组解，那么$(\pm ka, \pm kb, \pm kc), k \in \mathbb{Z}$也是一组解，假设$d = \gcd(a, b, c)$，那么$(a/d, b/d, c/d)$也是解。为了表示出解的唯一性，我们可以要求

$$a, b, c > 0, \gcd(a, b, c) = 1.$$

满足上述条件的解$(a, b, c)$称为是本原解，显然它满足$2 \nmid x+y.$

解

可以证明，这个方程的本原解为

$$\begin{cases} x = r^2 - s^2, \\ y = 2sr, \\ z = r^2 + s^2, \end{cases} \quad \text{or} \quad \begin{cases} x = 2sr, \\ y = r^2 - s^2, \\ z = r^2 + s^2. \end{cases}$$

其中，

$$r > s > 0, \gcd(r,s) = 1, 2 \nmid r+s.$$

进而方程的全部解为

$$\begin{cases} x = \pm k (r^2 - s^2), \\ y = \pm k (2sr), \\ z = \pm k (r^2 + s^2), \end{cases} \quad \text{or} \quad \begin{cases} x = \pm k 2sr, \\ y = \pm k (r^2 - s^2), \\ z = \pm k (r^2 + s^2), \end{cases} \quad k \in \mathbb{Z}^+.$$