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Pythagoras 方程（毕达哥拉斯方程）也被称为商高方程，是数论上的一个著名方程。
如下二次齐次不等方程 x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^2 + y^2 = z^2} 的解 ( x , y , z ) ∈ Z × Z × Z {\displaystyle (x, y, z) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}} 的求解问题，就是解一个商高方程的问题。
当 x y z = 0 {\displaystyle xyz = 0} 时方程有平凡解 ( 0 , ± a , ± a ) , ( ± a , 0 , ± a ) {\displaystyle (0, \pm a, \pm a), (\pm a, 0, \pm a)} ，满足 x y z ≠ 0 {\displaystyle xyz \ne 0} 的解称为非平凡解，我们的目的是找到非平凡解。
实际上，如果 ( a , b , c ) {\displaystyle (a, b, c)} 是一组解，那么 ( ± k a , ± k b , ± k c ) , k ∈ Z {\displaystyle (\pm ka, \pm kb, \pm kc), k \in \mathbb{Z}} 也是一组解，假设 d = gcd ( a , b , c ) {\displaystyle d = \gcd(a, b, c)} ，那么 ( a / d , b / d , c / d ) {\displaystyle (a/d, b/d, c/d)} 也是解。为了表示出解的唯一性，我们可以要求 a , b , c > 0 , gcd ( a , b , c ) = 1. {\displaystyle a, b, c > 0, \gcd(a, b, c) = 1.} 满足上述条件的解 ( a , b , c ) {\displaystyle (a, b, c)} 称为是本原解，显然它满足 2 ∤ x + y . {\displaystyle 2 \nmid x+y.}
可以证明，这个方程的本原解为 { x = r 2 − s 2 , y = 2 s r , z = r 2 + s 2 , or { x = 2 s r , y = r 2 − s 2 , z = r 2 + s 2 . {\displaystyle \begin{cases} x = r^2 - s^2, \\ y = 2sr, \\ z = r^2 + s^2, \end{cases} \quad \text{or} \quad \begin{cases} x = 2sr, \\ y = r^2 - s^2, \\ z = r^2 + s^2. \end{cases}} 其中， r > s > 0 , gcd ( r , s ) = 1 , 2 ∤ r + s . {\displaystyle r > s > 0, \gcd(r,s) = 1, 2 \nmid r+s.} 进而方程的全部解为 { x = ± k ( r 2 − s 2 ) , y = ± k ( 2 s r ) , z = ± k ( r 2 + s 2 ) , or { x = ± k 2 s r , y = ± k ( r 2 − s 2 ) , z = ± k ( r 2 + s 2 ) , k ∈ Z + . {\displaystyle \begin{cases} x = \pm k (r^2 - s^2), \\ y = \pm k (2sr), \\ z = \pm k (r^2 + s^2), \end{cases} \quad \text{or} \quad \begin{cases} x = \pm k 2sr, \\ y = \pm k (r^2 - s^2), \\ z = \pm k (r^2 + s^2), \end{cases} \quad k \in \mathbb{Z}^+.}
的解
的求解问题，就是解一个商高方程的问题。
时方程有平凡解
，满足
的解称为非平凡解，我们的目的是找到非平凡解。
是一组解，那么
也是一组解，假设
，那么
也是解。为了表示出解的唯一性，我们可以要求
满足上述条件的解称为是本原解，显然它满足
其中，
进而方程的全部解为
