Poisson 积分

在分析中，Poisson 积分是一类常见的无穷限积分。

内容

设$a > 0, b \in \R$，那么 $$\int_0^{+\infty} \text{e}^{-ax^2} \cos bx \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{b^2}{4a}} \sqrt{\dfrac{\pi}{a}},$$ 且 $$\int_0^{+\infty} x \text{e}^{-ax^2} \sin bx \mathrm{d}x = \dfrac{b}{4a}\text{e}^{-\frac{b^2}{4a}} \sqrt{\dfrac{\pi}{a}},$$ 当$b = 0, a = 1$时就是高斯积分 $$\int_0^{+\infty} \text{e}^{-x^2} \mathrm{d}x = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}.$$ 此外设$a, b > 0$，还有 $$\int_0^{+\infty} \text{e}^{-ax^2-\frac{b}{x^2}} \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} \text{e}^{-2\sqrt{ab}}.$$ 以上积分均是收敛的。

其值的计算可依靠传统的分析方法进行，亦可使用复分析的留数理论。

参考资料

1. 裴礼文, 《数学分析中的典型问题与方法（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2006-04, ISBN 978-7-0401-8454-9.