Poisson 方程

Poisson 方程是一类二阶偏微分方程，它的解可以使用 Laplace 方程的解——调和函数的卷积表示。

概念

假设一个多元函数$u(x)$定义在 Euclid 空间中的开区域$U \subset \R^n$上，且它是二阶可微连续到边界的，$f(x)$是定义在$U$上的 Hölder 连续的函数，那么以下方程

$$\Delta u := \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} (x) = -f(x)$$

称为 Poisson 方程。

当$U = \R^n$时，上述方程的解为

$$u(x) = \int_{\R^n} \Phi(x-y) f(y) \mathrm{d}y = \int_{\R^n} \Phi(y) f(x-y) \mathrm{d}y.$$

Dirichlet 边值条件

带有第一类边值问题的 Poisson 方程有形式

$${\begin{aligned}-\Delta u&=f,&&{\text{in }}U,\\u&=g,&&{\text{on }}\partial U.\end{aligned}}$$

这里$U$是$\R^n$上的开集，$f, g$都有足够好的连续性。假设$\Phi(x)$是 Laplace 方程的基本解，称满足如下边值问题的函数$\phi^x (y)$是矫正子

$${\begin{aligned}-\Delta \phi ^{x}&=0,&&{\text{in }}U,\\\phi ^{x}&=\Phi (y-x),&&{\text{on }}\partial U.\end{aligned}}$$

定义区域$U$上的 Green 函数为

$$G(x, y) = \Phi(y-x) - \phi^x(y), \quad x, y \in U, x \ne y.$$

那么边值问题#A1的解可以表示为

$$u(x) = \int_U f(y) G(x, y)\mathrm{d}y - \int_{\partial U} g(y) \dfrac{\partial G}{\partial \nu} (x, y) \mathrm{d}y.$$

这里$\dfrac{\partial G}{\partial \nu}$是$G$在$\partial U$上的外法向导数。

因此边值问题转化为了一个求解 Laplace 方程边值问题#A2，但是#A2也并不好解，只有形状十分规则时才有解析表达式，例如半平面和球区域，详见 Green 函数。

平均值公式

像调和函数的平均值公式那样，Poisson 方程也有类似的公式，假设$u(x)$满足如下边值条件#A1，那么

$$u(0) = \dfrac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}} \int_{\partial B(0, r)} g \mathrm{d}S + \dfrac{1}{n(n-2)\alpha(n)} \int_{B(0, r)} \left( \dfrac{1}{|x|^{n-2}} - \dfrac{1}{r^{n-2}} \right) f(x) \mathrm{d}x.$$

证明详见平均值公式/Poisson 方程。

最值原理

调和函数最大值原理的推广。假设$U \subset \R^n$是有界开集，$u(x)$满足如下边值条件#A1，那么存在一个仅和$U$有关的常数$C$满足

$$\max_{x \in \overline{U}} |u(x)| \leqslant C(\max_{x \in \partial U} |g(x)| + \max_{x \in \overline{U}} |f(x)|).$$

证明详见最大模原理/Poisson 方程。

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.), GTM Vol.19, American Mathematical Society, 2010-03, ISBN 978-0-8218-4974-3.