Poisson 分布

Poisson 分布（泊松）是一類在實際生活中應用廣泛的離散概率分布，生活中的許多隨機現象都服從 Poisson 分布。它可以由二項分布逼近而來，但其應用範圍要更廣泛得多（泊松逼近定理）。

模型

Poisson 分布表徵的是一段連續間隔（例如，時間）內某個事件發生次數的概率大小的分布，這是一個隨機變量，記作$X$，它的取值是正整數。

Poisson 分布滿足的公式為 $$P\{X=k\} = p(k; \lambda) = \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda}, \quad k = 0,1,2,\cdots.$$ 其中，$\lambda > 0$稱為該分布的強度。

服從 Poisson 分布的隨機變量常表示為$X \sim P(\lambda).$R 語言的泊松分布分布律函數為dpois，一些不同參數的泊松分布分布律為

在隨機過程中，與 Poisson 分布聯繫密切的 Poisson 過程也可以用來定義和理解 Poisson 分布。

泊松逼近

泊松逼近定理是說，在有限次獨立重複試驗中，考察一個事件$A$，設第$n$次試驗中事件$A$發生的概率是$p_n$（它的取值可以隨着$n$的不同而變化），隨機變量$Y$為事件$A$發生的次數，如果$\lim_{n \to \infty} np_n = \lambda$，那麼 $$\lim_{n \to \infty} P\{ Y=k \} = p(k; \lambda) = \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda}.$$ 上述定理實際應用時只需要求$n$足夠大（仍是定值）即可用來近似。

特別地，當$p_n$為定值時，Poisson 分布就用來近似二項分布。

證明：記$\lambda_n = np_n$，於是 $$\begin{align} P \{ Y=k \} & = \dbinom{n}{k} p_n^k (1-p_n)^{n-k} \\ & = \dbinom{n}{k} \left( \dfrac{\lambda_n}{n} \right)^k \left( 1-\dfrac{\lambda_n}{n} \right)^{n-k} \\ & = \dfrac{\lambda_n^k}{k!} \left( 1 - \dfrac{\lambda_n}{n} \right)^{n-k} \prod_{i=1}^{k-1} \left( 1-\dfrac{i}{n} \right) \\ \end{align}$$ $k$為有限常數，注意到 $$\lim_{n \to \infty} \lambda_n^k = \lambda^k, \quad \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \dfrac{\lambda_n}{n} \right)^{n-k} = \text{e}^{-\lambda}$$ 又由於 $$\lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^{k-1} \left( 1-\dfrac{i}{n} \right) = 1$$ 因此 $$\lim_{n \to \infty} P\{ Y=k \} = p(k; \lambda) = \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda}$$

可加性

設有兩個獨立的隨機變量$X \sim P(\lambda_1), Y \sim P(\lambda_2)$，那麼$X + Y \sim P(\lambda_1 + \lambda_2).$

數字特徵

Poisson 分布的均值和方差都是$\lambda$，這是因為 $$\begin{align} E(X) & = \sum_{k=0}^\infty k \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda} \\ & = \lambda \text{e}^{-\lambda} \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \\ & = \lambda \text{e}^{-\lambda} \cdot \text{e}^\lambda = \lambda. \\ D(X) & = E(X^2) - (E(X))^2 \\ & = \sum_{k=0}^\infty k^2 \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda} - \lambda^2 \\ & = \sum_{k=1}^\infty k(k-1) \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda} + \sum_{k=1}^\infty k \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda} - \lambda^2 \\ & = \lambda^2 \text{e}^{-\lambda} \sum_{k=2}^\infty \dfrac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!} + \lambda - \lambda^2 \\ & = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda. \end{align}$$ Poisson 分布的特徵函數是$\text{e}^{\lambda(\text{e}^{\text{i}t}-1)}.$

統計特性

指數分布族

參數空間為$\varTheta = \{ \lambda: \lambda > 0 \}$的 Poisson 分布族$P(\lambda)$是指數分布族。

充分統計量

參數空間為$\varTheta = \{ \lambda: \lambda > 0 \}$的 Poisson 分布族$P(\lambda)$的一個充分統計量是$T = \sum_{k=1}^n X_k.$

點估計

參數空間為$\varTheta = \{ \lambda: \lambda > 0 \}$的 Poisson 分布族$P(\lambda)$的總體$X$關於參數$\lambda$的矩估計、極大似然估計和一致最小方差無偏估計都是$\overline{X}.$這個估計量達到了 C-R 下界。

區間估計

參數為$\lambda$的 Poisson 分布，關於參數的置信係數為$1-\alpha$的近似置信區間是 $$\left[ \dfrac{\chi^2_{2T}(\alpha/2)}{2n}, \dfrac{\chi^2_{2T+1}(1-\alpha/2)}{2n} \right].$$ 這裡$T = n\overline{X}.$

上下節

• 上一節：超幾何分布
• 下一節：連續型隨機變量

參考資料

1. 李賢平, 《概率論基礎（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.