Poisson 分布

Poisson 分布（泊松）是一类在实际生活中应用广泛的离散概率分布，生活中的许多随机现象都服从 Poisson 分布。它可以由二项分布逼近而来，但其应用范围要更广泛得多（泊松逼近定理）。

模型

Poisson 分布表征的是一段连续间隔（例如，时间）内某个事件发生次数的概率大小的分布，这是一个随机变量，记作$X$，它的取值是正整数。

Poisson 分布满足的公式为 $$P\{X=k\} = p(k; \lambda) = \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda}, \quad k = 0,1,2,\cdots.$$ 其中，$\lambda > 0$称为该分布的强度。

服从 Poisson 分布的随机变量常表示为$X \sim P(\lambda).$R 语言的泊松分布分布律函数为dpois，一些不同参数的泊松分布分布律为

在随机过程中，与 Poisson 分布联系密切的 Poisson 过程也可以用来定义和理解 Poisson 分布。

泊松逼近

泊松逼近定理是说，在有限次独立重复试验中，考察一个事件$A$，设第$n$次试验中事件$A$发生的概率是$p_n$（它的取值可以随着$n$的不同而变化），随机变量$Y$为事件$A$发生的次数，如果$\lim_{n \to \infty} np_n = \lambda$，那么 $$\lim_{n \to \infty} P\{ Y=k \} = p(k; \lambda) = \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda}.$$ 上述定理实际应用时只需要求$n$足够大（仍是定值）即可用来近似。

特别地，当$p_n$为定值时，Poisson 分布就用来近似二项分布。

证明：记$\lambda_n = np_n$，于是 $$\begin{align} P \{ Y=k \} & = \dbinom{n}{k} p_n^k (1-p_n)^{n-k} \\ & = \dbinom{n}{k} \left( \dfrac{\lambda_n}{n} \right)^k \left( 1-\dfrac{\lambda_n}{n} \right)^{n-k} \\ & = \dfrac{\lambda_n^k}{k!} \left( 1 - \dfrac{\lambda_n}{n} \right)^{n-k} \prod_{i=1}^{k-1} \left( 1-\dfrac{i}{n} \right) \\ \end{align}$$ $k$为有限常数，注意到 $$\lim_{n \to \infty} \lambda_n^k = \lambda^k, \quad \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \dfrac{\lambda_n}{n} \right)^{n-k} = \text{e}^{-\lambda}$$ 又由于 $$\lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^{k-1} \left( 1-\dfrac{i}{n} \right) = 1$$ 因此 $$\lim_{n \to \infty} P\{ Y=k \} = p(k; \lambda) = \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda}$$

可加性

设有两个独立的随机变量$X \sim P(\lambda_1), Y \sim P(\lambda_2)$，那么$X + Y \sim P(\lambda_1 + \lambda_2).$

数字特征

Poisson 分布的均值和方差都是$\lambda$，这是因为 $$\begin{align} E(X) & = \sum_{k=0}^\infty k \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda} \\ & = \lambda \text{e}^{-\lambda} \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \\ & = \lambda \text{e}^{-\lambda} \cdot \text{e}^\lambda = \lambda. \\ D(X) & = E(X^2) - (E(X))^2 \\ & = \sum_{k=0}^\infty k^2 \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda} - \lambda^2 \\ & = \sum_{k=1}^\infty k(k-1) \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda} + \sum_{k=1}^\infty k \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda} - \lambda^2 \\ & = \lambda^2 \text{e}^{-\lambda} \sum_{k=2}^\infty \dfrac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!} + \lambda - \lambda^2 \\ & = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda. \end{align}$$ Poisson 分布的特征函数是$\text{e}^{\lambda(\text{e}^{\text{i}t}-1)}.$

统计特性

指数分布族

参数空间为$\varTheta = \{ \lambda: \lambda > 0 \}$的 Poisson 分布族$P(\lambda)$是指数分布族。

充分统计量

参数空间为$\varTheta = \{ \lambda: \lambda > 0 \}$的 Poisson 分布族$P(\lambda)$的一个充分统计量是$T = \sum_{k=1}^n X_k.$

点估计

参数空间为$\varTheta = \{ \lambda: \lambda > 0 \}$的 Poisson 分布族$P(\lambda)$的总体$X$关于参数$\lambda$的矩估计、极大似然估计和一致最小方差无偏估计都是$\overline{X}.$这个估计量达到了 C-R 下界。

区间估计

参数为$\lambda$的 Poisson 分布，关于参数的置信系数为$1-\alpha$的近似置信区间是 $$\left[ \dfrac{\chi^2_{2T}(\alpha/2)}{2n}, \dfrac{\chi^2_{2T+1}(1-\alpha/2)}{2n} \right].$$ 这里$T = n\overline{X}.$

上下节

• 上一节：超几何分布
• 下一节：连续型随机变量

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.