Pettis 积分

Pettis 积分是定义向量值函数的积分的延伸概念，它是向量值函数对应 Lebesgue 积分在弱算子拓扑下的定义，强算子拓扑下的定义可导出另外一种积分——Bochner 积分。

定义

假设$U \subset \C$，$(U, \mathcal{F}, \mu)$是全σ有限的完全测度空间，$X$是 Banach 空间，另有向量值函数$x: U \to X$。若对任意的$E \in \mathcal{F}$存在$x_E \in X$使得对任意$f \in X^*$，积分$\int_E f(x(t)) \mathrm{d}\mu(t)$存在，且$\int_E f(x(t)) \mathrm{d}\mu(t) = f(x_E)$，我们就称$x(t)$是 Pettis 可积的，且记 $$(P) \int_E x(t) \mathrm{d}\mu(t) := x_E$$ 是$x(t)$在$E$上的 Pettis 积分。

由 Hahn-Banach 定理，当$x(t)$在$\mathcal{F}$上 Pettis 可积时，在每个$E$上积分是唯一的。且当$X = \R \text{ or } \C$，Pettis 积分就是普通的数值函数的 Lebesgue 积分。

性质

1. 假设$x: U \to X$是 Pettis 可积的，那么$x$是弱可测的。
2. 如果$\alpha, \beta \in \C$且$x, y: U \to X$是 Pettis 可积的，那么线性组合$\alpha x + \beta y$也是 Pettis 可积的，且其积分值等于$x, y$的积分值的线性组合。
3. 假设$x(t) = y(t), \text{a.e. } t \in U$，那么$x$是 Pettis 可积当且仅当$y$是 Pettis 可积的，且此时二者在任意可测集$E \subset \mathcal{F}$上积分值相等。
4. 假设$X$是自反空间，且有向量值函数$x: U \to X$，对任意的$f \in X^*$积分$\int_U f(x(t)) \mathrm{d}\mu(t)$存在，则$x(t)$是 Pettis 可积的。$X$不是自反空间时这个性质未必成立。
5. 假设$X, Y$是 Banach 空间且$T: X \to Y$是连续线性算子，且$x: U \to X$是 Pettis 可积的，则$T \circ x: U \to Y$是 Pettis 可积的，且$\forall E \in \mathcal{F}$都有$$(P)\int_E T \circ x(t) \mathrm{d}\mu(t) = T\left( (P) \int_E x(t) \mathrm{d}\mu(t) \right).$$

参考资料

1. 夏道行, 《泛函分析第二教程》, 高等教育出版社, 北京, 2009-01, ISBN 978-7-0402-4750-3.