Pascal 分布

在概率论中，Pascal 分布是一个十分重要的概率分布。

模型

给定一正整数$r$，设在伯努利试验中$P(A) = p, P(\overline{A}) = q = 1-p$，那么第$r$次发生事件$A$需要$k$次试验的概率是 $$f(k; r, p) = \dbinom{k-1}{r-1} p^{r} q^{k-r},$$ Pascal 分布满足规范化条件 $$\begin{align} \sum_{k=r}^\infty f(k; r, p) & = \sum_{k=r}^\infty \dbinom{k-1}{r-1} p^{r} q^{k-r} \\ & = \sum_{t=0}^\infty \dbinom{t+r-1}{t} p^{k-t} q^{t} = \sum_{t=0}^\infty \dbinom{-r}{t} p^{r} (-q)^t \\ & = p^r (1-q)^{-r} = 1. \end{align}$$ 当$r=1$时就是几何分布。

对于 Pascal 分布，我们通常用随机变量$X$表示事件$A$第$r$次发生进行的试验的次数$k$，这样 $$P\{ X = k \} = f(k; r, p) = \dbinom{k-1}{r-1} p^{r} q^{k-r}.$$ R 语言的 Pascal 分布分布律函数为dnbinom，一些不同参数的 Pascal 分布分布律为

第二定义

我们也可从另一方面——关注试验$A$的失败次数，来定义 Pascal 分布，这是说：

给定一正整数$r$，设在伯努利试验中$P(A) = p, P(\overline{A}) = q = 1-p$，那么第$r$次发生事件$A$时经历过的失败次数为$t$，由$t$决定一个随机变量$Y$，于是 $$P \{ Y=t \} = P \{ X=r+t \} = \dbinom{r+t-1}{r-1} p^{r} q^{t} = \dbinom{-r}{t} p^{r} (-q)^{t}$$ 代换$t=k-r$在 Pascal 分布相关问题中十分常见。

这种情况下，如果令$r$为正实数，就得到负二项分布。

期望和方差

Pascal 分布的期望和方差分别是$E(X) = \dfrac{r}{p}, D(X) = \dfrac{rq}{p^2}.$ 这是因为 $$\begin{align} E(X) & = \sum_{k=r}^\infty k \dbinom{k-1}{r-1} p^{r} q^{k-r} = p^r \sum_{k=r}^\infty k \dbinom{k-1}{k-r} q^{k-r} \\ & = p^r \sum_{t=0}^\infty (t+r) \dbinom{t+r-1}{t} q^{t} = \dfrac{p^r}{(r-1)!} \left( \dfrac{\mathrm{d}^r}{\mathrm{d}q^r} \sum_{t=0}^\infty q^{t+r} \right) \\ & = \dfrac{p^r}{(r-1)!} \left( \dfrac{\mathrm{d}^r}{\mathrm{d}q^r} \dfrac{q^r}{1-q} \right) = \dfrac{r}{p}. \\ D(X) & = E(X^2) - (E(X))^2 \\ & = \sum_{k=r}^\infty k^2 \dbinom{k-1}{r-1} p^{r} q^{k-r} - \dfrac{r^2}{p^2} \\ & = p^r \left[ \sum_{k=r}^\infty (k+1)k \dbinom{k-1}{r-1} q^{k-r} - \sum_{k=r}^\infty k \dbinom{k-1}{r-1} q^{k-r} \right] - \dfrac{r^2}{p^2} \\ & = \dfrac{p^r}{(r-1)!} \left( \dfrac{\mathrm{d}^{r+1}}{\mathrm{d}q^{r+1}} \dfrac{q^{r+1}}{1-q} - \dfrac{\mathrm{d}^r}{\mathrm{d}q^r} \dfrac{q^r}{1-q} \right) - \dfrac{r^2}{p^2} \\ & = \dfrac{p^r}{(r-1)!} \left[ \dfrac{(r+1)!}{(1-q)^{r+2}} - \dfrac{r!}{(1-q)^{r+1}} \right] - \dfrac{r^2}{p^2} = \dfrac{rq}{p^2}. \end{align}$$ Pascal 分布的特征函数是$\left(\dfrac{p\text{e}^{\text{i}t}}{1-q\text{e}^{\text{i}t}}\right)^r.$

上下节

• 上一节：几何分布
• 下一节：超几何分布

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.