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Parseval 等式Hilbert 空间中的一个等式,它表明 Hilbert 空间中任意元素可以用一组正交规范集线性表出的条件是有完备的正交集。

内容[]

假设是 Hilbert 空间,是一组正交规范集,那么下列叙述等价:

  1. 是封闭的,即。这时称是正交规范基;
  2. 是完备的,即中不存在非零元与正交(即不存在);
  3. 成立 Parseval 等式:

证明[]

1推2:反证法,假设不完备,即,而封闭性蕴含,矛盾。
2推3:反证法,假设存在一个使得 Parseval 等式不成立,则由 Bessel 不等式的推论
可知,的范数大于零,进而然而,这与的完备性矛盾。
3推1:由该等式以及式#A1
因此
证毕。

参考资料

  1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义(上册)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
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