Pareto 分布

Pareto 分布（帕累托分布）是经济学中引入的一种概率分布。

模型

设一个有正下界$x_m = \sup_{X=x} x$的连续型随机变量$X$的概率密度函数是 $$f(x) = r x_m^r x^{-(r+1)}, \quad x \geqslant x_m, r > 0.$$ 我们就称它服从参数为$r$和$x_m$的 Pareto 分布。

它的分布函数是 $$F(x) = \begin{cases} 1 - \left( \dfrac{x_m}{x} \right)^r, & x \geqslant x_m. \\ 0, & x < x_m. \end{cases}$$

数字特征

它的数学期望在$r>1$时存在，为$E(X) = \dfrac{rx_m}{r-1}$，方差在$r>2$时存在，为$D(X) = rx_m \left( \dfrac{x_m}{r-2} - \dfrac{1}{r-1} \right)$。证明如下 $$\begin{align} E(X) & = \int_{x_m}^{+\infty} x r x_m^r x^{-(r+1)} \mathrm{d}x \\ & = \dfrac{r}{1-r} x_m^r x^{-r+1} \Big|_{x_m}^{+\infty} = \dfrac{rx_m}{r-1}. \\ D(X) & = E(X^2) - (E(X))^2 \\ & = \int_{x_m}^{+\infty} x^2 r x_m^r x^{-(r+1)} \mathrm{d}x - \dfrac{rx_m}{r-1} \\ & = \dfrac{r}{2-r} x_m^r x^{-r+2} \Big|_{x_m}^{+\infty} - \dfrac{rx_m}{r-1} \\ & = rx_m \left( \dfrac{x_m}{r-2} - \dfrac{1}{r-1} \right). \end{align}$$ 它的$p<r$阶矩均存在，但$p\geqslant r$阶矩不存在。

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.