Noether 环

在环论中，诺特环（Noetherian rings）是一种特殊的环，它的一个特例是主理想整环（Principal Ideal Domain, PID）。

诺特环

如果一个交换环$R$的所有理想都是有限生成的，我们就称这个环$R$是诺特环。

如果一个整环$R$的每个理想都是主理想（即由一个元素生成），则称其为主理想整环。

整数环和一元实系数多项式环都是主理想整环。

诺特模

如果一个模$M$的所有子模都是有限生成的，就称这样的模为诺特模，主理想整环在自身形成的模是诺特模。

设$M$是 R-模，$N$是$M$的子模，那么$M$是诺特模和以下任意一条等价

1. $N, M/N$是诺特模。
2. 每一个子模构成的升链会终止（平稳），这是说设$N_i \leqslant M, \forall i \in \N^+$，下面的链
   $$N_1 \leqslant N_2 \leqslant N_3 \leqslant \cdots$$
   在某个$i \in \N^+$之后有$N_i = N_{i+1} = \cdots.$
3. 每一个$M$的子模构成的非空集族在集族包含意义下有最大元。

诺特环上有限生成的模是诺特模。

Hilbert 基定理

若$R$是可交换的诺特环，那么$R$上的一个一元多项式环$R[x]$也是可交换的诺特环，进一步有限个$n$元多项式环$R[x_1, x_2, \cdots, x_n]$也是可交换的诺特环。

该命题反过来也对：如果多项式交换环$R[x]$是诺特的，那么$R$也是诺特的。

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.