Newton-Cotes 求积公式

在数值分析中，Newton-Cotes 求积公式是一种数值积分的方法。

公式

考虑积分$I = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$，将区间$[a, b]$做$n$等分，设节点为$x_k = a + kh, k = 0,1,\cdots,n, x_n = b$，$k = \dfrac{b-a}{n}$为步长。则有求积公式

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx (b-a) \sum_{k=0}^n C_k^{(n)} f(x_k).$$

其中$C_k^{(n)}$为 Cotes 系数，上述公式为 Newton-Cotes 求积公式。

假设$x = a + th$，那么

$$C_k^{(n)} = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \prod_{\overset{i=0}{\underset{i \ne k}{}}}^n \dfrac{x - x_i}{x_k - x_i} \mathrm{d}x = \dfrac{(-1)^{n-k}}{n \cdot k! (n-k)!} \int_0^n \prod_{\overset{i=0}{\underset{i \ne k}{}}}^n (t-i) \mathrm{d}t.$$

显然 Cotes 系数和积分区间以及被积函数无关，它只由分割的区间数以及是第几个分割有关，这些值可以预先计算出来，例如

$$\begin{array}{c|cccccc} n & C_0 & C_1 & C_2 & C_3 & C_4 & C_5 \\ \hline 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & & & & \\ 2 & \dfrac{1}{6} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{6} & & & \\ 3 & \dfrac{1}{8} & \dfrac{3}{8} & \dfrac{3}{8} & \dfrac{1}{8} & & \\ 4 & \dfrac{7}{90} & \dfrac{16}{45} & \dfrac{2}{15} & \dfrac{16}{45} & \dfrac{7}{90} & \\ 5 & \dfrac{19}{288} & \dfrac{25}{96} & \dfrac{25}{144} & \dfrac{25}{144} & \dfrac{25}{96} & \dfrac{19}{288} \\ \end{array}$$

有规律$\sum_{k=0}^n C_k^{(n)} = 1$以及$C_k^{(n)} = C_{n-k}^{(n)}.$

当$n=1$时为梯形公式，当$n=2$时为 Simpson 公式，由于该求积公式为插值型求积公式，因此至少具有$n$次代数精度。

误差分析

对于$n$较小的情形，误差

$$R[f] = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x - (b-a) \sum_{k=0}^n C_k^{(n)} f(x_k)$$

为

$$R[f] = \begin{cases} -\dfrac{1}{12} h^3 f''(\xi), & n = 1, \\ -\dfrac{1}{90} h^5 f^{(4)}(\xi), & n = 2, \\ -\dfrac{3}{80} h^5 f^{(4)}(\xi), & n = 3, \\ -\dfrac{8}{945} h^7 f^{(6)}(\xi), & n = 4, \\ -\dfrac{275}{12096} h^7 f^{(6)}(\xi), & n = 5. \\ \end{cases}$$

这里$\xi \in (a, b).$因此一般的求积公式当$n$为奇数时代数精度是$n$；当$n$为偶数时代数精度是$n+1.$

我们需要指出，这样的求积公式在当$n$很大时并不能提高精确度，例如对$I = \int_{-4}^4 \dfrac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$的求积过程发散，其次，可以证明

$$\sup_n \sum_{k=0}^n |C_k^{(n)}| = +\infty$$

这预示了$n$很大（实际上在$n > 8$之后）时 Cotes 系数出现了负数，影响了数值稳定性，因此只有阶数较低的求积公式被采用，例如$n \leqslant 7.$

改进此问题的方法可以由复化求积公式或多次插值解决。

参考资料

1. 黄云清, 《数值计算方法》, 科学出版社, 北京, 2012-06, ISBN 978-7-0302-3428-5.