Morrey 引理

在分析中，Morrey 引理是一个有关函数 Hölder 连续性的引理，它类似于 Campanato 引理，只是用梯度的$L^2$范数（ Dirichlet 能量）代替了原来函数自身的$L^2$范数。

内容

假设$B(0, r) \subset \R^n$是开球，$u \in C(U)$，如果存在常数$c > 0$满足 $$\int_{B(0, r)} |Du|^2 \leqslant cr^{n+2\alpha-2},$$ 那么$u \in C^\alpha(B(0, r)).$

证明

这个结果是 Poincare 不等式和 Campanato 引理的直接推论： $$\int_{B(0, r)} |u - (u)_{x,r}|^2 \leqslant c_1 r^2 \int_{B(0, r)} |Du|^2 \leqslant cr^{n+2\alpha}.$$ 其中 $$(u)_{x,r} = \dfrac{1}{m(B(x, r))} \int_{B(x,r)} u$$ 是球上的积分平均。

由 Campanato 引理立得。

参考资料

1. Qing Han, Fanghua Lin, Elliptic Partial Differential Equations(2nd Ed.), Courant Lecture Notes, American Mathematical Society, 2011-02, ISBN 978-0-8218-5313-9.