Minkowski 泛函

Minkowski 泛函是线性空间中引入的一个概念，借助它可以对一个线性空间引出半范数和范数的概念，参见 Kolmogorov 定理。

定义

假设$V$是一个线性空间，$A$是$V$上的凸子集，且零元$\theta \in A$，定义映射 $$\begin{align} P: V & \to [0, +\infty], \\ x & \mapsto P(x) := \inf \left\{ \lambda > 0 \left| \dfrac{x}{\lambda} \in A \right. \right\} \end{align}$$ 称为$V$关于凸集$A$的 Minkowski 泛函。它的几何意义是：线性空间上给定一个凸集之后，不在凸集上的点可以被“吸收”（即对向量进行同向伸缩变换）到凸集的“边界”上，由于一般的线性空间没有拓扑，因此不会有边界的概念，实际上理解上述映射时应为：将一个向量经过同向伸缩变换后使得它在凸集里的所有数乘作用的下确界。

基本性质

上述定义的 Minkowski 泛函可以取到无穷，因此严格来说不是一个函数。该映射有如下基本性质：

1. $P(\theta) = 0.$但是不一定有$P(x) = 0 \Longrightarrow x = 0.$
2. 正齐次性：$\forall \lambda > 0, \forall x \in V, P(\lambda x) = \lambda P(x).$
3. 三角不等式：$\forall x, y \in V, P(x+y) \leqslant P(x) + P(y).$

进一步，如果空间$V$和凸集$A$有更好的性质时，泛函$P(x)$也会有更好的性质：

1. $P(x)$取不到无穷当且仅当$A$是吸收凸集。
2. 假设$V$是实线性空间，正齐次性变为实齐次性：$\forall \lambda \in \R, \forall x \in V, P(\lambda x) = |\lambda| P(x)$当且仅当$A$是对称凸集。
3. 假设$V$是赋范线性空间，$A$是含有零元的闭凸集，那么$P(x)$是下半连续的，且$C = \{ x \in V: P(x) \leqslant 1 \}.$
4. 假设$V$是赋范线性空间，$A$是含有零元的开凸集，那么$P(x)$是有界的（指存在$M > 0$使得对任意$x \in V$成立$p(x) \leqslant M \| x \|$）且$C = \{ x \in V: P(x) < 1 \}.$
5. 假设$V$是赋范线性空间，$A$是含有零元的有界闭凸集，那么$P(x) = 0 \iff x = \theta.$
6. 假设$V$是赋范线性空间，$A$是以零元为内点的闭凸集，那么$P(x)$是一致连续的。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.