Minkowski 不等式

Minkowski 不等式（闵可夫斯基不等式）是分析领域（特别地，测度空间）中的一个不等式。

范数形式

设在测度空间$(E, \mu)$上定义了一个范数$\| \cdot \|_p$，$p \geqslant 1$，那么$\forall x, y \in E$，

$$\| x + y \|_p \leqslant \| x \|_p + \| y \|_p.$$

当$0 < p < 1$时不等号反向。

这是范数的三角不等式。

离散形式

设$p \geqslant 1$，则

$$\left( \sum _{k=0}^n (a_k + b_k)^p \right)^{\frac{1}{p}} \leqslant \left( \sum _{k=0}^n a_k^p \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum _{k=0}^n b_k^p \right)^{\frac{1}{p}}$$

当$0 < p < 1$时不等号反向。 证明：令$q = \dfrac{p}{p-1}$，则${1\over p} + {1\over q} = 1$，则

$$\begin{align} \sum _{k=0}^n (a_k + b_k)^p & = \sum _{k=0}^n (a_k + b_k)^{p-1} \cdot (a_k + b_k) \\ & = \sum _{k=0}^n (a_k + b_k)^{p-1} \cdot a_k + \sum _{k=0}^n (a_k + b_k)^{p-1} \cdot b_k \\ & \leqslant \left[ \sum _{k=0}^n (a_k + b_k)^{\frac{p}{p-1}} \right]^{1-\frac{1}{p}} \left( \sum _{k=0}^n a_k^p \right)^{\frac{1}{p}} \\ & \quad + \left[ \sum _{k=0}^n (a_k + b_k)^{\frac{p}{p-1}} \right]^{1-\frac{1}{p}} \left( \sum _{k=0}^n b_k^p \right)^{\frac{1}{p}} \\ & = \left[ \sum _{k=0}^n (a_k + b_k)^{\frac{p}{p-1}} \right]^{1-\frac{1}{p}} \left[ \left( \sum _{k=0}^n a_k^p \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum _{k=0}^n b_k^p \right)^{\frac{1}{p}} \right] \end{align}$$

两边同时除以$\left[ \sum _{k=0}^n (a_k + b_k)^{\frac{p}{p-1}} \right]^{1-\frac{1}{p}}$即证明了所要结论。

概率论

设$X_i,i=1,2,\cdots,n$是随机变量，下式在左右两端为有限数时成立。

$$\begin{align} \left( E\left| \sum_{i=1}^n X_i \right|^p \right)^\frac{1}{p} & \leqslant \sum_{i=1}^n \left( E|X_i|^p \right)^\frac{1}{p}, & p \geqslant 1, \\ \left( E\left( \sum_{i=1}^n X_i \right)^p \right)^\frac{1}{p} & > \sum_{i=1}^n \left( E|X_i|^p \right)^\frac{1}{p}, & 0 < p < 1. \\ \end{align}$$

且有

$$\begin{align} E \left( \sum_{i=1}^n |X_i| \right)^p & \geqslant \sum_{i=1}^n E|X_i|^p, & p \geqslant 1, \\ E \left( \sum_{i=1}^n |X_i| \right)^p & < \sum_{i=1}^n E|X_i|^p, & 0 < p < 1. \\ \end{align}$$

积分形式

设$p > 1$，$f(x), g(x)$在$[a, b]$上可积，则

$$\left( \int_a^b (|f(x) + g(x)|)^p \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}} \leqslant \left( \int_a^b |f(x)|^p \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \int_a^b |g(x)|^p \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}}.$$

当$0 < p < 1$时不等号反向。

它是范数形式的直接推论。由 Fubini 定理还可得到下述形式的不等式：

假设$1 \leqslant p < \infty$，$f(x, y)$是$\R^m \times \R^n$上的可测函数，且关于$y$是$L^p$可积的，对几乎处处的$y \in \R^n, y \mapsto \| f(\cdot, y) \|_{L^p(\R^m)}$是$\R^m$上$L^1$可积的。那么$x \mapsto \int_{\R^n} f(x, y) \mathrm{d}y$是$L^p$的，且

$$\left\| \int_{\R^n} f(x, y) \mathrm{d}y \right\|_{L^p(\R^m)} \leqslant \int_{\R^n} \| f(x, y) \|_{L^p(\R^m)} \mathrm{d}y.$$

这也被称为广义 Minkowski 不等式，这个不等式可以推出混合范数 Lp 空间中的指标重排不等式。当我们取

$$f(x,y)={\begin{cases}f(x),&0\leqslant y\leqslant 1,\\g(x),&1<y\leqslant 2\end{cases}}$$

而$f:\mathbb {R} ^{n}\times [0,2]$的时候，广义 Minkowski 不等式就变为$L^p$空间中的 Minkowski 不等式了。

行列式形式

设$A, B$是$n$阶正定矩阵，那么

$$[\det(A+B)]^\frac{1}{n} \geqslant (\det A)^\frac{1}{n} + (\det B)^\frac{1}{n}.$$

等号成立当且仅当$A$是$B$的纯量倍。

参见

• Young 不等式
• Hölder 不等式
• Cauchy-Schwarz 不等式
• Jensen 不等式

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.
2. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.

\