Mazur 定理

Mazur 定理是线性泛函分析中的一个定理，凸集分离定理的推论。

凸集分离的 Mazur 定理

内容

假设$E$是赋范线性空间$X$中的一个闭凸集，$F$是$X$的一个线性子流形，$\overset{\circ}{E} \cap F = \varnothing$（$\overset{\circ}{E}$是集合$E$的内点之全体），那么存在一个包含$F$的闭超平面$L$使得$E$在$L$一侧。

即存在$X$上的非零连续线性泛函$f$以及实数$r \in \R$使得 $$f(x) \leqslant s = f(y), \quad x \in E, y \in F.$$

证明

设$F = x_0 + X_0$，$X_0$是线性子空间，$x_0 \in X$。由凸集分离定理可知存在一个超平面$H_f^r$分离$E$和$F$，即 $$f(E) \leqslant r, \quad f(x_0 + X_0) \geqslant r.$$ 记$r_0 := r - f(x_0)$，于是可以得到 $$f(X_0) \geqslant r_0.$$ 注意到$f$是线性的且$X_0$是线性子空间，那么 $$f(X_0) = 0.$$ 这说明$X_0 \in H_f^0.$从而$F \subset x_0 + H_f^0 =: H_f^s$，于是超平面$H_f^s$即为所求。

弱收敛的 Mazur 定理

内容

假设$X$是赋范线性空间，$\{ x_n \} \subset X$弱收敛到$x_0 \in X$，那么对任意的$\varepsilon > 0$，$\exists \lambda_i \geqslant 0, \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$使得 $$\left\| x_0 - \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right\| \leqslant \varepsilon.$$ 这表明，弱收敛的序列，它们的凸组合可以做到强收敛。

进一步它还说明了一个事实：对凸集来说，（强）闭性和序列弱闭性等价，一般而言，对于一个赋范线性空间中的集合$E$，如果它是序列弱闭的，即对任意弱收敛的序列，它的弱极限依然在$E$中，则这个集合一定是强闭的（任意按范数收敛的序列，它的极限都在$E$中），Mazur 定理表明：如果一个凸集合是强闭的，对任意弱收敛的序列，它的一个凸组合强收敛到弱极限，这个极限按照集合$E$的强闭性可知其在$E$中，进而$E$是序列弱闭的。

证明

假设$M$是$\{ x_n \}$生成的闭凸包，用反证法，如果$x_0 \notin M$，那么由 Ascoli 定理可知存在$f \in X^*$以及$\alpha \in \R$使得 $$f(x) < \alpha < f(x_0), \quad \forall x \in M.$$ 从而 $$f(x_n) < \alpha < f(x_0), \quad \forall n \in \N.$$ 这就与弱收敛矛盾。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.