Mangoldt 函数

在数论中，Mangoldt 函数是一种数论函数，它在素数分布的研究中被引入。

定义

Mangoldt 函数被定义为

$$\Lambda(n) = \begin{cases} \ln p, & n = p^\alpha, \alpha > 0, p \text{ is odd}, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$

数论中的一种 Chebyshev 函数$\psi(x) = \sum_{n \leqslant x} \Lambda(n)$就是通过它定义的。

卷积性质

该函数的 Möbius 变换与逆变换分别是

$$\sum_{d|n} \Lambda(d) = \ln n, \quad \Lambda(n) = - \sum_{d|n} \mu(d)\ln d.$$

即

$$\Lambda(n) * \{ 1 \} = \ln n, \quad \Lambda(n) = - (\mu(n) \cdot \ln n) * \{ 1 \}.$$

Euler 恒等式

$\sum_{n=1}^\infty \Lambda(n) n^{-s} = -\dfrac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}, \quad s > 1.$

这仅需注意到

$\ln \zeta(s) = -\sum_p \ln(1-p^{-s}).$

两边对$s$求导即可。